Considere a função:
f(x, y) = x^3 * e^(2x) + (y^3 / 4) * e^x - 5 * x * y^2
A) determine o valor de taxa de variação máxima de f em 0,1 na direção do vetor i + j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a taxa de variação máxima da função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente o gradiente da função e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior variação da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :
Para em :
Para em :

Passo 6

Então, o gradiente da função no ponto é:

Passo 7

A direção que queremos é o vetor , que em coordenadas fica . Para usar essa direção, precisamos normalizar o vetor, ou seja, transformar ele em um vetor unitário.
O vetor unitário na direção de é:

Passo 8

Agora, a taxa de variação da função na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto na direção do vetor é .

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