Considere a função:
A) determine o valor de taxa de variação máxima de f em
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a taxa de variação máxima da função
no ponto
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente o gradiente da função e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior variação da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto
:
Para
em
:
Para
em
:
Passo 6
Então, o gradiente da função no ponto
é:
Passo 7
A direção que queremos é o vetor
, que em coordenadas fica
. Para usar essa direção, precisamos normalizar o vetor, ou seja, transformar ele em um vetor unitário.
O vetor unitário
na direção de
é:
Passo 8
Agora, a taxa de variação da função na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
A equação
. Defina
implicitamente em função de
e y e determine
considere
C) Explique por que f é diferenciável
C) Explique por que f é diferenciável
Considere a função:
B) determine a linearização
de f em ( 0,1 ) e calcule o valor de
. Explique porque o valor calculado é uma boa aproximação do valor do valor de f
.
A) Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos de: