Considere f(x, y) = e^(x / y) - g((y - x) / x), onde g: R -> R é diferenciável. Calcule a derivada direcional de f no ponto 1,1 na direção do vetor (raiz(2)/2, raiz(2)/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para fazer isso, vamos precisar entender de derivadas parciais, gradiente e como aplicar essas ideias para achar a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada pelo produto escalar do gradiente de nesse ponto com o vetor . Ou seja:
Então, para encontrar , precisamos achar o gradiente de no ponto .

Passo 3

O gradiente de é o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Vamos calcular cada derivada parcial.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte, também usamos a regra da cadeia. Seja , então:
Calculando :
Então:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Calculando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos avaliar as derivadas parciais no ponto .
Primeiro, substituindo e na :
Agora, na :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional. O vetor dado é . O produto escalar do gradiente com é:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é 0.

Exercícios relacionados