Considere , onde é diferenciável. Calcule a derivada direcional de no ponto na direção do vetor

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para fazer isso, vamos precisar entender de derivadas parciais, gradiente e como aplicar essas ideias para achar a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada pelo produto escalar do gradiente de nesse ponto com o vetor . Ou seja:
Então, para encontrar , precisamos achar o gradiente de no ponto .

Passo 3

O gradiente de é o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Vamos calcular cada derivada parcial.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte, também usamos a regra da cadeia. Seja , então:
Calculando :
Então:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Calculando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos avaliar as derivadas parciais no ponto .
Primeiro, substituindo e na :
Agora, na :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional. O vetor dado é . O produto escalar do gradiente com é:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é 0.

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Um triângulo retângulo isósceles é construído perpendicularmente ao plano do círculo de equação , com um dos seus lados iguais coincidindo com a corda perpendicular ao eixo x . Determine a sua área como uma função de x e dê o seu domínio.
Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=\operatorname{sen}(x)
Denotando por a derivada direcional da função na direção do vetor unitário , mostre que , quando .
Calcule o limite, se existir.
b) .