Considere
, onde
é diferenciável. Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para fazer isso, vamos precisar entender de derivadas parciais, gradiente e como aplicar essas ideias para achar a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é dada pelo produto escalar do gradiente de
nesse ponto com o vetor
. Ou seja:
Então, para encontrar
, precisamos achar o gradiente de
no ponto
.
Passo 3
O gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte, também usamos a regra da cadeia. Seja
, então:
Calculando
:
Então:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Calculando
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Primeiro, substituindo
e
na
:
Agora, na
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional. O vetor dado é
. O produto escalar do gradiente com
é:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é 0.
Exercícios relacionados
Um triângulo retângulo isósceles é construído perpendicularmente ao plano do círculo de equação
, com um dos seus lados iguais coincidindo com a corda perpendicular ao eixo x . Determine a sua área como uma função de x e dê o seu domínio.
Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=\operatorname{sen}(x)
f(x)=\operatorname{sen}(x)
Denotando por
a derivada direcional da função
na direção do vetor unitário
, mostre que
, quando
.
Calcule o limite, se existir.
b) .
b)