Um triângulo retângulo isósceles é construído perpendicularmente ao plano do círculo de equação , com um dos seus lados iguais coincidindo com a corda perpendicular ao eixo x . Determine a sua área como uma função de x e dê o seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um triângulo retângulo isósceles construído perpendicularmente ao plano de um círculo com a equação . Um dos lados do triângulo coincide com uma corda perpendicular ao eixo x. Nosso objetivo é determinar a área desse triângulo em função de x e encontrar seu domínio. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a equação do círculo, propriedades das cordas e das figuras geométricas como o triângulo retângulo isósceles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o círculo dado pela equação . Isso representa um círculo com centro na origem (0,0) e raio 4, já que . Agora, queremos encontrar uma corda desse círculo que seja perpendicular ao eixo x.

Passo 3

Uma corda perpendicular ao eixo x será uma linha vertical que corta o círculo. Vamos considerar que essa corda está localizada em um ponto x específico. Para encontrar os pontos de interseção dessa corda com o círculo, substituímos o valor de x na equação do círculo:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, a distância entre esses dois pontos será o comprimento da corda. Calculamos essa distância subtraindo as coordenadas y:

Passo 5

Sabemos que o triângulo é retângulo e isósceles, o que significa que os dois catetos são iguais e formam o ângulo de 90 graus. Nesse caso, um dos catetos coincide com a corda que acabamos de encontrar, ou seja, tem comprimento .

Passo 6

Como o triângulo é isósceles e retângulo, o outro cateto também terá o mesmo comprimento . A área de um triângulo retângulo é dada por:
Á
Neste caso, a base e a altura são iguais a .

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da área:
Á

Passo 8

Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O valor dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero para que os valores sejam reais:

Resposta

A área do triângulo, em função de x, é e o seu domínio é .

Exercícios relacionados

Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=\operatorname{sen}(x)
Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.
Considere , onde é diferenciável. Calcule a derivada direcional de no ponto na direção do vetor
Denotando por a derivada direcional da função na direção do vetor unitário , mostre que , quando .