Um triângulo retângulo isósceles é construído perpendicularmente ao plano do círculo de equação
, com um dos seus lados iguais coincidindo com a corda perpendicular ao eixo x . Determine a sua área como uma função de x e dê o seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um triângulo retângulo isósceles construído perpendicularmente ao plano de um círculo com a equação
. Um dos lados do triângulo coincide com uma corda perpendicular ao eixo x. Nosso objetivo é determinar a área desse triângulo em função de x e encontrar seu domínio. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a equação do círculo, propriedades das cordas e das figuras geométricas como o triângulo retângulo isósceles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o círculo dado pela equação
. Isso representa um círculo com centro na origem (0,0) e raio 4, já que
. Agora, queremos encontrar uma corda desse círculo que seja perpendicular ao eixo x.
Passo 3
Uma corda perpendicular ao eixo x será uma linha vertical que corta o círculo. Vamos considerar que essa corda está localizada em um ponto x específico. Para encontrar os pontos de interseção dessa corda com o círculo, substituímos o valor de x na equação do círculo:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, a distância entre esses dois pontos será o comprimento da corda. Calculamos essa distância subtraindo as coordenadas y:
Passo 5
Sabemos que o triângulo é retângulo e isósceles, o que significa que os dois catetos são iguais e formam o ângulo de 90 graus. Nesse caso, um dos catetos coincide com a corda que acabamos de encontrar, ou seja, tem comprimento
.
Passo 6
Como o triângulo é isósceles e retângulo, o outro cateto também terá o mesmo comprimento
. A área de um triângulo retângulo é dada por:
Neste caso, a base e a altura são iguais a
.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula da área:
Passo 8
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O valor dentro da raiz quadrada
deve ser maior ou igual a zero para que os valores sejam reais:
Resposta
A área do triângulo, em função de x, é
e o seu domínio é
.
Exercícios relacionados
Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=\operatorname{sen}(x)
f(x)=\operatorname{sen}(x)
Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.
Considere
, onde
é diferenciável. Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
Denotando por
a derivada direcional da função
na direção do vetor unitário
, mostre que
, quando
.