Denotando por
a derivada direcional da função
na direção do vetor unitário
, mostre que
, quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos mostrar que a derivada direcional dessa função na direção de qualquer vetor unitário
está entre
e
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente. Vamos passo a passo entender tudo isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Imagine que você quer saber como a função
muda em uma direção específica, dada por um vetor
. A derivada direcional
nos dá exatamente essa taxa de variação.
Passo 3
Para calcular a derivada direcional, precisamos do gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja,
Vamos calcular essas derivadas para nossa função
:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, a derivada direcional na direção do vetor unitário
é dada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor
:
Lembrando que
é um vetor unitário, ou seja, sua magnitude é 1:
Passo 5
Queremos encontrar os valores máximo e mínimo de
. Para isso, usamos a propriedade do produto escalar que diz:
Como
, temos:
Isso significa que a derivada direcional está limitada pela norma do gradiente.
Passo 6
Vamos calcular a norma do gradiente
:
Sabemos que
e
estão sempre entre -1 e 1. Então, o valor máximo de
ocorre quando ambos os cossenos são iguais a 1:
Passo 7
Como a derivada direcional
está limitada pela norma do gradiente, temos:
Resposta
A derivada direcional de
na direção de qualquer vetor unitário
satisfaz
.