Denotando por a derivada direcional da função na direção do vetor unitário , mostre que , quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos mostrar que a derivada direcional dessa função na direção de qualquer vetor unitário está entre e . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente. Vamos passo a passo entender tudo isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Imagine que você quer saber como a função muda em uma direção específica, dada por um vetor . A derivada direcional nos dá exatamente essa taxa de variação.

Passo 3

Para calcular a derivada direcional, precisamos do gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Vamos calcular essas derivadas para nossa função :
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, a derivada direcional na direção do vetor unitário é dada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor :
Lembrando que é um vetor unitário, ou seja, sua magnitude é 1:

Passo 5

Queremos encontrar os valores máximo e mínimo de . Para isso, usamos a propriedade do produto escalar que diz:
Como , temos:
Isso significa que a derivada direcional está limitada pela norma do gradiente.

Passo 6

Vamos calcular a norma do gradiente :
Sabemos que e estão sempre entre -1 e 1. Então, o valor máximo de ocorre quando ambos os cossenos são iguais a 1:
á

Passo 7

Como a derivada direcional está limitada pela norma do gradiente, temos:

Resposta

A derivada direcional de na direção de qualquer vetor unitário satisfaz .

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Considere , onde é diferenciável. Calcule a derivada direcional de no ponto na direção do vetor
Um triângulo retângulo isósceles é construído perpendicularmente ao plano do círculo de equação , com um dos seus lados iguais coincidindo com a corda perpendicular ao eixo x . Determine a sua área como uma função de x e dê o seu domínio.
Calcule o limite, se existir.
b) .
Mostre que:
c) , onde