Denotando por partial fpartial u a derivada direcional da função f na direção do vetor unitário u, mostre que -raiz2 <= partial fpartial u(x, y) <= raiz2, quando f(x, y)=sen x+sen y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos mostrar que a derivada direcional dessa função na direção de qualquer vetor unitário está entre e . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente. Vamos passo a passo entender tudo isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Imagine que você quer saber como a função muda em uma direção específica, dada por um vetor . A derivada direcional nos dá exatamente essa taxa de variação.

Passo 3

Para calcular a derivada direcional, precisamos do gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais de partial fpartial x = cos x em relação a partial fpartial y = cos y e nabla f = (cos x, cos y) . Ou seja,
Vamos calcular essas derivadas para nossa função :
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, a derivada direcional na direção do vetor unitário partial fpartial u = nabla f cdot u = cos x cdot u1 + cos y cdot u2 é dada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor u1^2 + u2^2 = 1 :
Lembrando que é um vetor unitário, ou seja, sua magnitude é 1:

Passo 5

Queremos encontrar os valores máximo e mínimo de |nabla f cdot u| <= |nabla f| cdot |u| . Para isso, usamos a propriedade do produto escalar que diz:
|nabla f cdot u| <= |nabla f|
Como , temos:
Isso significa que a derivada direcional está limitada pela norma do gradiente.

Passo 6

Vamos calcular a norma do gradiente |nabla f| = raiz(cos x)^2 + (cos y)^2 :
|nabla f|máx = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Sabemos que e estão sempre entre -1 e 1. Então, o valor máximo de ocorre quando ambos os cossenos são iguais a 1:
á

Passo 7

Como a derivada direcional -raiz2 <= partial fpartial u(x, y) <= raiz2 está limitada pela norma do gradiente, temos:

Resposta

A derivada direcional de na direção de qualquer vetor unitário satisfaz .

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