Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=\operatorname{sen}(x)
f(x)=\operatorname{sen}(x)
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem o seguinte problema: Determinar a inversa da função
, se existir. Vamos trabalhar com funções e suas inversas, mais especificamente com a função seno. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções inversas funcionam e as propriedades da função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa de
é aquela que “desfaz” a ação de
. Ou seja, se
, então a inversa de
, chamada de
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a função
tem uma inversa. Para uma função ter inversa, ela precisa ser injetora (cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de valores possíveis). Em outras palavras, a função precisa ser bijetora.
Passo 4
A função seno,
, não é injetora em todo o seu domínio porque ela é periódica e repete os mesmos valores para infinitos
. Por exemplo,
e
. Isso significa que não conseguimos encontrar uma única inversa para toda a função seno.
Passo 5
Para contornar isso, limitamos o domínio da função seno a um intervalo onde ela seja injetora. O intervalo mais comum para isso é
, onde a função seno é estritamente crescente e, portanto, injetora.
Passo 6
Com o domínio restrito a
, podemos definir a inversa da função seno. Essa inversa é conhecida como arcoseno e é denotada por
ou
.
Resposta
A inversa de
, com domínio restrito a
, é
.
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, onde
é diferenciável. Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor