Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=\operatorname{sen}(x)

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem o seguinte problema: Determinar a inversa da função , se existir. Vamos trabalhar com funções e suas inversas, mais especificamente com a função seno. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções inversas funcionam e as propriedades da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa de é aquela que “desfaz” a ação de . Ou seja, se , então a inversa de , chamada de .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função tem uma inversa. Para uma função ter inversa, ela precisa ser injetora (cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de valores possíveis). Em outras palavras, a função precisa ser bijetora.

Passo 4

A função seno, , não é injetora em todo o seu domínio porque ela é periódica e repete os mesmos valores para infinitos . Por exemplo, e . Isso significa que não conseguimos encontrar uma única inversa para toda a função seno.

Passo 5

Para contornar isso, limitamos o domínio da função seno a um intervalo onde ela seja injetora. O intervalo mais comum para isso é , onde a função seno é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Passo 6

Com o domínio restrito a , podemos definir a inversa da função seno. Essa inversa é conhecida como arcoseno e é denotada por ou .

Resposta

A inversa de , com domínio restrito a , é .

Exercícios relacionados

Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Um triângulo retângulo isósceles é construído perpendicularmente ao plano do círculo de equação , com um dos seus lados iguais coincidindo com a corda perpendicular ao eixo x . Determine a sua área como uma função de x e dê o seu domínio.
Considere , onde é diferenciável. Calcule a derivada direcional de no ponto na direção do vetor