Sabendo que
, determine
, através da diferenciação implícita.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a equação
, onde
é uma função de
, ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, que é
, usando a técnica de diferenciação implícita. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo da equação:
Passo 3
No lado esquerdo da equação, temos um produto de três termos:
,
e
. Como
é uma constante em relação a
, podemos tratar
como um único termo. Aplicando a regra do produto para
e
, temos:
Simplificando:
Passo 4
No lado direito da equação, temos
. Vamos diferenciar cada termo separadamente:
E para
, aplicamos a regra da cadeia:
Portanto, o lado direito fica:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados da equação:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos rearranjar os termos para juntar todos os termos que contêm
de um lado e os demais do outro lado:
Passo 6
Agora, fatoramos
no lado esquerdo:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: