Sabendo que y = y(x), determine d/y d/x, através da diferenciação implícita.
y z cos(x) = x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a equação , onde é uma função de , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , que é , usando a técnica de diferenciação implícita. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo da equação:

Passo 3

No lado esquerdo da equação, temos um produto de três termos: , e . Como é uma constante em relação a , podemos tratar como um único termo. Aplicando a regra do produto para e , temos:
Simplificando:

Passo 4

No lado direito da equação, temos . Vamos diferenciar cada termo separadamente:
E para , aplicamos a regra da cadeia:
Portanto, o lado direito fica:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados da equação:
Nosso objetivo é isolar . Vamos rearranjar os termos para juntar todos os termos que contêm de um lado e os demais do outro lado:

Passo 6

Agora, fatoramos no lado esquerdo:
Para encontrar , dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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