Considere .
c) O que acontece com e com a curva de nível que passa por ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função . O que a gente precisa descobrir aqui é o que acontece com o gradiente dessa função no ponto e como é a curva de nível que passa por esse ponto. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente, representado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a e .
Então, vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o gradiente:
Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 4

O que esse gradiente zero significa? Quando o gradiente é , isso indica que no ponto a função não está subindo nem descendo em nenhuma direção específica; é um ponto crítico. Pode ser um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de sela.
Agora, vamos falar sobre a curva de nível que passa por . Uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função tem o mesmo valor constante.
Como está na curva de nível que queremos, vamos calcular esse valor:
Então, a curva de nível é definida por:
Isso significa que:
Ou seja, a curva de nível é composta pelos eixos e .

Resposta

No ponto , o gradiente é , e a curva de nível que passa por esse ponto consiste nos eixos e .

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Determine a transformada de Laplace de:
Encontre a transformada Laplace de:
Use derivação implícita para calcular : .
a) Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto .