Considere
.
c) O que acontece com
e com a curva de nível que passa por
?
c) O que acontece com
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função
. O que a gente precisa descobrir aqui é o que acontece com o gradiente dessa função no ponto
e como é a curva de nível que passa por esse ponto. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente, representado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a
e
.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o gradiente:
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
O que esse gradiente zero significa? Quando o gradiente é
, isso indica que no ponto
a função não está subindo nem descendo em nenhuma direção específica; é um ponto crítico. Pode ser um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de sela.
Agora, vamos falar sobre a curva de nível que passa por
. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
tem o mesmo valor constante.
Como
está na curva de nível que queremos, vamos calcular esse valor:
Então, a curva de nível é definida por:
Isso significa que:
Ou seja, a curva de nível é composta pelos eixos
e
.
Resposta
No ponto
, o gradiente
é
, e a curva de nível que passa por esse ponto consiste nos eixos
e
.
Exercícios relacionados
Determine a transformada de Laplace de:
Encontre a transformada Laplace de:
Use derivação implícita para calcular
:
.
a) Encontre a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.