Encontre a transformada Laplace de: f(t) = { t, 0 <= t < 2; 0, t >= 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada de uma função que é igual a entre 0 e 2, e depois vira zero. Vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e fazer umas integrais. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo em uma função de uma variável complexa . A fórmula é:
No nosso caso, a função é igual a de 0 até 2 e zero depois disso. Então, a integral só precisa ir de 0 a 2.

Passo 3

Vamos escrever a Transformada de Laplace para a nossa função:
Agora, precisamos resolver essa integral. A gente vai usar integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções.

Passo 4

Na integração por partes, escolhemos:
Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos :
Agora, a segunda parte:

Passo 7

Juntando as duas partes que calculamos:
Vamos simplificar isso para uma expressão mais bonita.

Passo 8

Distribuindo :
Podemos juntar os termos que têm :

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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