Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada de uma função que é igual a entre 0 e 2, e depois vira zero. Vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e fazer umas integrais. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo em uma função de uma variável complexa . A fórmula é:
No nosso caso, a função é igual a de 0 até 2 e zero depois disso. Então, a integral só precisa ir de 0 a 2.
Passo 3
Vamos escrever a Transformada de Laplace para a nossa função:
Agora, precisamos resolver essa integral. A gente vai usar integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções.
Passo 4
Na integração por partes, escolhemos:
Agora, aplicamos a fórmula:
Passo 5
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 6
Primeiro, calculamos :
Agora, a segunda parte:
Passo 7
Juntando as duas partes que calculamos:
Vamos simplificar isso para uma expressão mais bonita.