Determine o volume do sólido definido pelas superfícies e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre as superfícies e . Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente integrais múltiplas para calcular volumes entre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação, temos:
Isso significa que as duas superfícies se intersectam em um círculo com raio .

Passo 3

Como a região de integração é circular, fica mais fácil usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Assim, as equações das superfícies ficam:

Passo 4

Para encontrar o volume entre essas superfícies, calculamos a diferença e integramos sobre a região de interseção:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração. varia de 0 a e varia de 0 a :

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:
Calculando no limite superior:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Ache a equação do plano tangente à superfície regular no ponto .
Considere .
a) Desenhe as curvas de nível 0,1 e 2 ;
Derive.