Determine o volume do sólido definido pelas superfícies
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre as superfícies
e
. Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente integrais múltiplas para calcular volumes entre superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação, temos:
Isso significa que as duas superfícies se intersectam em um círculo com raio
.
Passo 3
Como a região de integração é circular, fica mais fácil usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Assim, as equações das superfícies ficam:
Passo 4
Para encontrar o volume entre essas superfícies, calculamos a diferença
e integramos sobre a região de interseção:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração.
varia de 0 a
e
varia de 0 a
:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Calculando no limite superior:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Ache a equação do plano tangente à superfície regular
no ponto
.
Considere
.
a) Desenhe as curvas de nível 0,1 e 2 ;
a) Desenhe as curvas de nível 0,1 e 2 ;
Derive.