Considere
um campo vetorial em
e
uma curva parametrizada por
, com
. Marque com
, se for verdadeira a sentença, ou
, se falsa, justificando cada item:
é um campo vetorial conservativo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vectorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver, vamos precisar saber o que caracteriza um campo vetorial conservativo e como verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Em duas dimensões, uma condição prática pra verificar isso é comparar as derivadas parciais cruzadas. Ou seja, se
, então o campo é conservativo se
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso no nosso campo
. Aqui,
e
.
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todo
e
. Mas claramente,
não é igual a
a menos que
, o que não se aplica a todo o domínio de
.
Resposta
F – O campo vetorial
não é conservativo, pois as derivadas parciais cruzadas não são iguais.