Considere F(x, y) = (-2x + 3y, 4xy) um campo vetorial em R^2 e Cl uma curva parametrizada por r1(t) = (t^2, t^3), com 0 <= t <= 1. Marque com V, se for verdadeira a sentença, ou F, se falsa, justificando cada item:
F é um campo vetorial conservativo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vectorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver, vamos precisar saber o que caracteriza um campo vetorial conservativo e como verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Em duas dimensões, uma condição prática pra verificar isso é comparar as derivadas parciais cruzadas. Ou seja, se , então o campo é conservativo se .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso no nosso campo . Aqui, e .
Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todo e . Mas claramente, não é igual a a menos que , o que não se aplica a todo o domínio de .

Resposta

F – O campo vetorial não é conservativo, pois as derivadas parciais cruzadas não são iguais.

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