Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular , onde é a curva indicada: ; onde é qualquer curva ligando a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o campo vetorial é conservativo. Depois, encontrar uma função potencial para ele e usar essa função com o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral ao longo de qualquer curva que liga os pontos a . Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como encontrar a função potencial e aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial , ou seja, . Além disso, para campos em duas dimensões, se as derivadas parciais cruzadas de e forem iguais, o campo é conservativo. Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais. A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Isso implica que . Integrando, temos:
Então, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante para o cálculo da integral.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz que:
Calculando :
E :
Então, a integral vale:

Resposta

A integral vale .

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Considere um campo vetorial em e uma curva parametrizada por , com . Marque com , se for verdadeira a sentença, ou , se falsa, justificando cada item:
é um campo vetorial conservativo