Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular integralC F d r, onde C é a curva indicada: F(x, y)=2(x-y) i+2(3 y-x) j; onde C é qualquer curva ligando (3,0) a (0,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o campo vetorial é conservativo. Depois, encontrar uma função potencial para ele e usar essa função com o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral ao longo de qualquer curva que liga os pontos a . Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como encontrar a função potencial e aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial , ou seja, . Além disso, para campos em duas dimensões, se as derivadas parciais cruzadas de e forem iguais, o campo é conservativo. Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais. A derivada parcial de partial Ppartial y = partialpartial y [2(x - y)] = -2 em relação a partial Qpartial x = partialpartial x [2(3y - x)] = -2 é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial partial fpartial x = P = 2(x - y) . Sabemos que:
f(x, y) = integral 2(x - y) , dx = x^2 - 2xy + g(y)
Integrando em relação a partial fpartial y = -2x + g'(y) = 2(3y - x) :
-2x + g'(y) = 6y - 2x
Agora, derivamos g(y) = 3y^2 + C em relação a f(x, y) = x^2 - 2xy + 3y^2 + C e igualamos a :
Simplificando:
Isso implica que . Integrando, temos:
Então, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante para o cálculo da integral.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz que:
integralC F cdot dr = f(0, 3) - f(3, 0)
Calculando f(0, 3) = 0^2 - 2(0)(3) + 3(3)^2 = 0 - 0 + 27 = 27 :
f(3, 0) = 3^2 - 2(3)(0) + 3(0)^2 = 9 - 0 + 0 = 9
E 27 - 9 = 18 :
Então, a integral vale:

Resposta

A integral vale .

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