Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
; onde
é qualquer curva ligando
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o campo vetorial
é conservativo. Depois, encontrar uma função potencial para ele e usar essa função com o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral ao longo de qualquer curva
que liga os pontos
a
. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como encontrar a função potencial e aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial
, ou seja,
. Além disso, para campos em duas dimensões, se as derivadas parciais cruzadas de
e
forem iguais, o campo é conservativo. Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais. A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Isso implica que
. Integrando, temos:
Então, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante
para o cálculo da integral.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz que:
Calculando
:
E
:
Então, a integral vale:
Resposta
A integral
vale
.
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, onde
é o arco do círculo
no primeiro quadrante, do ponto
ao
.
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Considere
um campo vetorial em
e
uma curva parametrizada por
, com
. Marque com
, se for verdadeira a sentença, ou
, se falsa, justificando cada item:
é um campo vetorial conservativo