Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de substituição de variáveis. O conteúdo aqui envolve integrais de funções trigonométricas, especificamente as funções cotangente e cosecante. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a substituição de variáveis e as integrais dessas funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a substituição de variáveis. Esse método é útil quando temos uma integral que pode ser simplificada substituindo uma parte dela por uma nova variável. A ideia é tornar a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos analisar a integral . Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 4

Vamos começar resolvendo a primeira parte: .
Sabemos que , e a integral de é . Porém, como temos , precisamos considerar a substituição.

Passo 5

Definimos uma substituição para facilitar a integração:

Passo 6

Substituindo na integral:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda parte: .
Sabemos que , e a integral de é . Novamente, como temos , aplicamos a substituição.

Passo 8

Usando a substituição e , temos:
Sabemos que , então:

Resposta

Somando as duas partes, a integral completa é:

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Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular , onde é a curva indicada: ; onde é qualquer curva ligando a .
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Considere um campo vetorial em e uma curva parametrizada por , com . Marque com , se for verdadeira a sentença, ou , se falsa, justificando cada item:
é um campo vetorial conservativo
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada: , onde é o círculo de raio 1 e centro na origem.