Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral cot (5 t)+csc (5 t) d t

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de substituição de variáveis. O conteúdo aqui envolve integrais de funções trigonométricas, especificamente as funções cotangente e cosecante. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a substituição de variáveis e as integrais dessas funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a substituição de variáveis. Esse método é útil quando temos uma integral que pode ser simplificada substituindo uma parte dela por uma nova variável. A ideia é tornar a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos analisar a integral integral cot(5t) , dt + integral csc(5t) , dt . Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 4

Vamos começar resolvendo a primeira parte: .
Sabemos que , e a integral de é . Porém, como temos , precisamos considerar a substituição.

Passo 5

Definimos uma substituição para facilitar a integração:
u = 5t Rightarrow du = 5 , dt Rightarrow dt = du5

Passo 6

Substituindo na integral:
integral cot(5t) , dt = integral cot(u) cdot du5 = 15 integral cot(u) , du
Sabemos que 15 ln|sin(u)| + C = 15 ln|sin(5t)| + C , então:

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda parte: .
Sabemos que , e a integral de é . Novamente, como temos , aplicamos a substituição.

Passo 8

Usando a substituição integral csc(5t) , dt = integral csc(u) cdot du5 = 15 integral csc(u) , du e 15 ( -ln|csc(u) + cot(u)| ) + C = -15 ln|csc(5t) + cot(5t)| + C , temos:
Sabemos que , então:

Resposta

Somando as duas partes, a integral completa é:
integral (cot(5t) + csc(5t)) , dt = 15 ln|sin(5t)| - 15 ln|csc(5t) + cot(5t)| + C

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