Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando o método de substituição de variáveis. O conteúdo aqui envolve integrais de funções trigonométricas, especificamente as funções cotangente e cosecante. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a substituição de variáveis e as integrais dessas funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a substituição de variáveis. Esse método é útil quando temos uma integral que pode ser simplificada substituindo uma parte dela por uma nova variável. A ideia é tornar a integral mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos analisar a integral
. Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 4
Vamos começar resolvendo a primeira parte:
.
Sabemos que
, e a integral de
é
. Porém, como temos
, precisamos considerar a substituição.
Passo 5
Definimos uma substituição para facilitar a integração:
Passo 6
Substituindo na integral:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda parte:
.
Sabemos que
, e a integral de
é
. Novamente, como temos
, aplicamos a substituição.
Passo 8
Usando a substituição
e
, temos:
Sabemos que
, então:
Resposta
Somando as duas partes, a integral completa é:
Exercícios relacionados
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
; onde
é qualquer curva ligando
a
.
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Considere
um campo vetorial em
e
uma curva parametrizada por
, com
. Marque com
, se for verdadeira a sentença, ou
, se falsa, justificando cada item:
é um campo vetorial conservativo
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
, onde
é o círculo de raio 1 e centro na origem.