Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada: ointC(y^2-7 y) d x+(2 x y+2 x) d y, onde C é o círculo de raio 1 e centro na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de um círculo de raio 1 centrado na origem usando o Teorema de Green. Esse exercício envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy que delimita uma região integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA , a integral de linha
pode ser transformada em uma integral dupla sobre :
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (2xy + 2x) = 2y + 2
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2 - 7y) = 2y - 7
Agora, substituindo no Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (2y + 2) - (2y - 7) = 9

Passo 4

Então, a nossa integral dupla fica:
integral duplaD 9 , dA
Como integral duplaD 9 , dA = 9 times A = 9pi é o círculo de raio 1 centrado na origem, a área desse círculo é .
Portanto:

Passo 5

Dessa forma, a integral de linha original é igual a .

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a .

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