Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada: , onde é o círculo de raio 1 e centro na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de um círculo de raio 1 centrado na origem usando o Teorema de Green. Esse exercício envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada que delimita uma região , a integral de linha
pode ser transformada em uma integral dupla sobre :
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo no Teorema de Green:

Passo 4

Então, a nossa integral dupla fica:
Como é o círculo de raio 1 centrado na origem, a área desse círculo é .
Portanto:

Passo 5

Dessa forma, a integral de linha original é igual a .

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a .

Exercícios relacionados

Considere um campo vetorial em e uma curva parametrizada por , com . Marque com , se for verdadeira a sentença, ou , se falsa, justificando cada item:
é um campo vetorial conservativo
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Sejam uma função escalar e um campo vetorial, ambos de classe . Responda , caso a operação seja válida, ou , caso não seja:
$ \operatorname{rot}(\operatorname{div}(\nabla(f)))$
Considere a funçāo .
(b) A função é contínua no intervalo fechado ?(Justifique)