Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
, onde
é o círculo de raio 1 e centro na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de um círculo de raio 1 centrado na origem usando o Teorema de Green. Esse exercício envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha
pode ser transformada em uma integral dupla sobre
:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo no Teorema de Green:
Passo 4
Então, a nossa integral dupla fica:
Como
é o círculo de raio 1 centrado na origem, a área
desse círculo é
.
Portanto:
Passo 5
Dessa forma, a integral de linha original é igual a
.
Resposta
A integral de linha ao longo da curva
é igual a
.