Sejam
uma função escalar e
um campo vetorial, ambos de classe
. Responda
, caso a operação seja válida, ou
, caso não seja:
$ \operatorname{rot}(\operatorname{div}(\nabla(f)))$
$ \operatorname{rot}(\operatorname{div}(\nabla(f)))$
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função escalar
e um campo vetorial
, ambos diferenciáveis o suficiente (classe
). A operação que precisamos verificar é
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de gradiente (
), divergente (
) e rotacional (
).
Passo 2
Vamos começar aplicando o operador gradiente
na função escalar
. O gradiente de
,
, é um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento de
.
Passo 3
Em seguida, aplicamos o operador divergente
ao campo vetorial
. A divergente de um campo vetorial mede a taxa de “expansão” ou “contração” do campo em um ponto. Para um gradiente, a divergente de
é conhecida como o Laplaciano de
, denotado por
:
Passo 4
Agora, tentamos aplicar o operador rotacional
ao resultado
. O rotacional, ou curl, é um operador que age sobre campos vetoriais, não sobre escalares. Nesse caso,
é uma função escalar, então não faz sentido aplicar
a ela.
Resposta
F