Sejam f: R^3 -> R uma função escalar e G: R^3 -> R^3 um campo vetorial, ambos de classe C^l. Responda V, caso a operação seja válida, ou F, caso não seja:
$ \operatorname{rot}(\operatorname{div}(\nabla(f)))$

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função escalar e um campo vetorial , ambos diferenciáveis o suficiente (classe ). A operação que precisamos verificar é . Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de gradiente ( ), divergente ( ) e rotacional ( ).

Passo 2

Vamos começar aplicando o operador gradiente na função escalar . O gradiente de , , é um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento de .

Passo 3

Em seguida, aplicamos o operador divergente ao campo vetorial . A divergente de um campo vetorial mede a taxa de “expansão” ou “contração” do campo em um ponto. Para um gradiente, a divergente de é conhecida como o Laplaciano de , denotado por :

Passo 4

Agora, tentamos aplicar o operador rotacional ao resultado . O rotacional, ou curl, é um operador que age sobre campos vetoriais, não sobre escalares. Nesse caso, é uma função escalar, então não faz sentido aplicar a ela.

Resposta

F

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