Sobre o modelo de crescimento de dois setores com capital humano, apresentado por Lucas (1988), responda:
Apresente o problema de otimização da família produtora representativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para explicar o problema de otimização da família produtora representativa no modelo de crescimento de dois setores com capital humano, conforme apresentado por Lucas em 1988. Esse modelo faz parte da teoria econômica que estuda como a economia cresce ao longo do tempo, considerando que há dois setores principais e que o capital humano (habilidades e conhecimento das pessoas) desempenha um papel crucial. Para resolver isso, vamos precisar entender como a família busca maximizar sua utilidade (satisfação) ao decidir como alocar seus recursos entre consumo, investimento e educação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que a família produtora representa nesse modelo. Ela é considerada “representativa” porque assume que todas as famílias têm comportamentos semelhantes, então podemos analisar o comportamento de uma única família como se fosse toda a sociedade.
Passo 3
A família quer maximizar sua utilidade ao longo do tempo. A utilidade geralmente depende do consumo presente e futuro. Assim, o objetivo é escolher quanto consumir e quanto investir em capital humano para maximizar a satisfação total.
Passo 4
Vamos formular a função de utilidade intertemporal da família. Ela pode ser representada da seguinte forma:
Aqui, é a utilidade total, é a taxa de desconto que reflete a preferência por consumo presente em relação ao futuro, é a utilidade instantânea no tempo , e é o consumo no tempo .
Passo 5
Agora, precisamos considerar as restrições que a família enfrenta. A principal restrição é o orçamento, que envolve a renda disponível para consumo e investimento em capital humano. Suponha que a renda seja derivada da produção nos dois setores, que dependem do capital físico e humano.
A restrição orçamentária pode ser escrita como:
Onde é o capital humano, é a taxa de variação do capital humano, é a taxa de depreciação do capital humano, e é o investimento em educação no tempo .
Passo 6
Além disso, a produção em cada setor depende do capital físico e humano. Podemos ter funções de produção como:
Onde e são as produções dos setores 1 e 2, respectivamente, e é o capital físico.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos montar o problema de otimização da família:
Maximizar:
Sujeito a:
Onde é a renda total, que é usada para consumo e investimento em educação .
Resposta
O problema de otimização da família produtora representativa no modelo de Lucas (1988) consiste em maximizar a utilidade intertemporal sujeito às restrições de evolução do capital humano e ao orçamento , onde é a soma das produções dos dois setores, é o consumo e é o investimento em educação.