Escreva v como combinação linear de u1, u2 e u3 :
v=(3,10,7) e u1=(1,3,-2), u2=(1,4,2), u3=(2,8,1).

Passo 1

Entendendo o Problema
Temos o vetor v = (3, 10, 7) e três vetores u1 = (1, 3, -2), u2 = (1, 4, 2) e u3 = (2, 8, 1). Queremos escrever v como uma combinação linear desses vetores, ou seja, encontrar escalares a, b e c tais que:
v = au1 + bu2 + cu3
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações com as componentes dos vetores e resolver para a, b e c.

Passo 2

Montando as Equações
Vamos expandir a equação acima componente por componente:
1a + 1b + 2c = 3 3a + 4b + 8c = 10 -2a + 2b + 1c = 7
Aqui, cada equação representa a igualdade das componentes em cada dimensão (x, y, z).

Passo 3

Escrevendo a Matriz do Sistema
Podemos representar o sistema de equações como uma matriz aumentada para facilitar a resolução:
1 & 1 & 2 & | & 3 3 & 4 & 8 & | & 10 -2 & 2 & 1 & | & 7

Passo 4

Resolução do Sistema
Vamos resolver esse sistema utilizando o método da elimina��ão de Gauss:
  1. Primeira Etapa: Eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (primeiro elemento da primeira linha).
    • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
      L2 = L2 - 3 times L1 Rightarrow (3 - 3 times 1, 4 - 3 times 1, 8 - 3 times 2 | 10 - 3 times 3) Rightarrow (0, 1, 2 | 1)
    • Adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
      L3 = L3 + 2 times L1 Rightarrow (-2 + 2 times 1, 2 + 2 times 1, 1 + 2 times 2 | 7 + 2 times 3) Rightarrow (0, 4, 5 | 13)
    O sistema atualizado fica:
    1a + 1b + 2c = 3 0a + 1b + 2c = 1 0a + 4b + 5c = 13
  2. Segunda Etapa: Eliminar os elementos abaixo do segundo pivô (segundo elemento da segunda linha).
    • Subtraímos 4 vezes a segunda linha da terceira linha:
      L3 = L3 - 4 times L2 Rightarrow (0 - 4 times 0, 4 - 4 times 1, 5 - 4 times 2 | 13 - 4 times 1) Rightarrow (0, 0, -3 | 9)
    Agora, temos:
    1a + 1b + 2c = 3 0a + 1b + 2c = 1 0a + 0b -3c = 9
  3. Terceira Etapa: Resolver para c.
    Da terceira equação:
    -3c = 9 Rightarrow c = -3
  4. Quarta Etapa: Encontrar b.
    Substituímos c = -3 na segunda equação:
    b + 2(-3) = 1 Rightarrow b - 6 = 1 Rightarrow b = 7
  5. Quinta Etapa: Encontrar a.
    Substituímos b = 7 e c = -3 na primeira equação:
    a + 7 + 2(-3) = 3 Rightarrow a + 7 - 6 = 3 Rightarrow a + 1 = 3 Rightarrow a = 2

Resposta

boxedv = 2u1 + 7u2 -3u3

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