Escreva
como combinação linear de
e
u3 :
v=(3,10,7) e
u1=(1,3,-2), u2=(1,4,2), u3=(2,8,1) .
Passo 1
Entendendo o Problema
Temos o vetor
v = (3, 10, 7) e três vetores
u1 = (1, 3, -2) ,
u2 = (1, 4, 2) e
u3 = (2, 8, 1) . Queremos escrever
v como uma combinação linear desses vetores, ou seja, encontrar escalares
a ,
b e
c tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações com as componentes dos vetores e resolver para
a ,
b e
c .
Passo 2
Montando as Equações
Vamos expandir a equação acima componente por componente:
Aqui, cada equação representa a igualdade das componentes em cada dimensão (x, y, z).
Passo 3
Escrevendo a Matriz do Sistema
Podemos representar o sistema de equações como uma matriz aumentada para facilitar a resolução:
Passo 4
Resolução do Sistema
Vamos resolver esse sistema utilizando o método da elimina��ão de Gauss:
-
Primeira Etapa: Eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (primeiro elemento da primeira linha).
-
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
L2 = L2 - 3 times L1 Rightarrow (3 - 3 times 1, 4 - 3 times 1, 8 - 3 times 2 | 10 - 3 times 3) Rightarrow (0, 1, 2 | 1) -
Adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
L3 = L3 + 2 times L1 Rightarrow (-2 + 2 times 1, 2 + 2 times 1, 1 + 2 times 2 | 7 + 2 times 3) Rightarrow (0, 4, 5 | 13)
O sistema atualizado fica:1a + 1b + 2c = 3 0a + 1b + 2c = 1 0a + 4b + 5c = 13 -
-
Segunda Etapa: Eliminar os elementos abaixo do segundo pivô (segundo elemento da segunda linha).
-
Subtraímos 4 vezes a segunda linha da terceira linha:
L3 = L3 - 4 times L2 Rightarrow (0 - 4 times 0, 4 - 4 times 1, 5 - 4 times 2 | 13 - 4 times 1) Rightarrow (0, 0, -3 | 9)
Agora, temos:1a + 1b + 2c = 3 0a + 1b + 2c = 1 0a + 0b -3c = 9 -
-
Terceira Etapa: Resolver para
.c Da terceira equação:-3c = 9 Rightarrow c = -3 -
Quarta Etapa: Encontrar
.b Substituímos na segunda equação:c = -3 b + 2(-3) = 1 Rightarrow b - 6 = 1 Rightarrow b = 7 -
Quinta Etapa: Encontrar
.a Substituímos eb = 7 na primeira equação:c = -3 a + 7 + 2(-3) = 3 Rightarrow a + 7 - 6 = 3 Rightarrow a + 1 = 3 Rightarrow a = 2