Escreva como combinação linear de e :
e .

Passo 1

Entendendo o Problema
Temos o vetor e três vetores , e . Queremos escrever como uma combinação linear desses vetores, ou seja, encontrar escalares , e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações com as componentes dos vetores e resolver para , e .

Passo 2

Montando as Equações
Vamos expandir a equação acima componente por componente:
Aqui, cada equação representa a igualdade das componentes em cada dimensão (x, y, z).

Passo 3

Escrevendo a Matriz do Sistema
Podemos representar o sistema de equações como uma matriz aumentada para facilitar a resolução:

Passo 4

Resolução do Sistema
Vamos resolver esse sistema utilizando o método da elimina��ão de Gauss:
  1. Primeira Etapa: Eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (primeiro elemento da primeira linha).
    • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
    • Adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
    O sistema atualizado fica:
  2. Segunda Etapa: Eliminar os elementos abaixo do segundo pivô (segundo elemento da segunda linha).
    • Subtraímos 4 vezes a segunda linha da terceira linha:
    Agora, temos:
  3. Terceira Etapa: Resolver para .
    Da terceira equação:
  4. Quarta Etapa: Encontrar .
    Substituímos na segunda equação:
  5. Quinta Etapa: Encontrar .
    Substituímos e na primeira equação:

Resposta

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