Considere que, na figura abaixo, mI=6 kg, m2=2 kg, M=3 kg e R=0,2 m. O sistema é abandonado (a partir do repouso) na situação descrita na figura ( O momento de inércia da roldana é I=M R^2 / 2 ). Suponha que a corda não desliza e que não há atrito no eixo da polia.
b) Escreva as equações de dinâmica (Sigma F=m a e Sigma tau=I alpha).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um sistema com duas massas e uma roldana, com alguns valores dados para as massas (m₁ = 6 kg, m₂ = 2 kg, M = 3 kg) e o raio da roldana (R = 0,2 m). A roldana tem um momento de inércia dado por ². Nosso objetivo aqui é escrever as equações de dinâmica do sistema, ou seja, aplicar as leis de Newton para as forças e torques envolvidos.
Para resolver isso, vamos precisar usar:
  1. A segunda lei de Newton para força linear: .
  2. A segunda lei de Newton para rotação: .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as forças que atuam em cada massa. Para a massa m₁ (6 kg), a única força que está puxando ela para cima é a tensão na corda, que vamos chamar de T₁. Já a força que puxa para baixo é o peso dela, que é .
Para a massa m₂ (2 kg), a situação é inversa: a força que puxa para baixo é o peso, , e a tensão na corda que puxa para cima é T₂.

Passo 3

Agora, aplicando a segunda lei de Newton para cada massa:
Para m₁:
A força líquida que age sobre m₁ é a tensão T₁ menos o peso m₁g. De acordo com T₁ - m₁g = m₁a , temos:
m₂g - T₂ = m₂a
Para m₂:
A força líquida que age sobre m₂ é o peso m₂g menos a tensão T₂. Então:
Aqui, “a” representa a aceleração das massas.

Passo 4

Agora, vamos considerar a roldana. A roldana tem um momento de inércia Sigma tau = (T₂ - T₁)R ² e está sendo girada pelas tensões T₂ e T₁ na corda. A diferença entre essas tensões vai causar um torque na roldana.
Sabemos que torque ( (T₂ - T₁)R = I alpha ) é força multiplicada pela distância (no caso, o raio R da roldana):
De acordo com a segunda lei de Newton para rotação ( ), temos:
Aqui, é a aceleração angular da roldana, e sabemos que porque a corda não desliza.

Passo 5

Substituindo (T₂ - T₁)R = MR²2 cdot aR na equação do torque:
T₂ - T₁ = MR2a ²
Simplificando:

Resposta

As equações de dinâmica do sistema são:
T₁ - m₁g = m₁a
m₂g - T₂ = m₂a
T₂ - T₁ = MR2a

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