Considere que, na figura abaixo, mI=6 kg, m2=2 kg, M=3 kg e R=0,2 m. O sistema é abandonado (a partir do repouso) na situação descrita na figura ( O momento de inércia da roldana é I=M R^2 / 2 ). Suponha que a corda não desliza e que não há atrito no eixo da polia.
c) Calcule as tensões na corda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com duas massas, uma polia e uma corda que não desliza. Temos que calcular as tensões na corda. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e leis de Newton. Precisamos das massas , , da massa da polia , e do raio da polia . Também vamos precisar da expressão para o momento de inércia da polia, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. Temos duas tensões na corda: que puxa a massa para cima e que puxa a massa também para cima. Como o sistema está sendo abandonado, uma das massas vai descer enquanto a outra sobe, e a polia gira.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada massa. Para mI g - T1 = mI a :
T2 - m2 g = m2 a
E para :
Aqui, é a aceleração da gravidade ( ) e é a aceleração do sistema.

Passo 4

Agora, para a polia, vamos usar a segunda lei de Newton para rotação:
(T1 - T2) R = I alpha
Como a corda não desliza, a aceleração linear (T1 - T2) R = MR^22 cdot aR está relacionada com a aceleração angular T1 - T2 = M a2 pela relação . Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora temos três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, da equação 3:
T1 = T2 + 3a2
Substituímos 6g - (T2 + 3a2) = 6a na equação 1:
6g - T2 = 6a + 3a2 = 15a2
Rearranjando:
T2 = 6g - 15a2
Então:

Passo 7

Agora, substituímos (6g - 15a2) - 2g = 2a na equação 2:
4g - 15a2 = 2a
Simplificando:
8g - 15a = 4a
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
8g = 19a implies a = 8g19
Então:
a approx 8 times 9,819 approx 4,13,m/s^2
Substituindo :

Passo 8

Agora que temos T2 = 6g - 15 times 4,132 = 6 times 9,8 - 61,952 approx 58,8 - 30,975 approx 27,825,N , vamos encontrar :

Passo 9

E para T1 = T2 + 3 times 4,132 approx 27,825 + 6,195 approx 34,02,N :

Resposta

As tensões na corda são aproximadamente:
T1 approx 34,02,N e T2 approx 27,83,N

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