Duas pedras são largadas da beirada de um precipício de 70 m, a segunda 1,6 s após a primeira. A que distância abaixo do topo do precipício está a segunda pedra quando a separação entre ambas é de 36 m ? [R.: 11 m.]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos duas pedras que são largadas de um precipício de 70 metros de altura. A segunda pedra é largada 1,6 segundos depois da primeira. Queremos descobrir a que distância abaixo do topo do precipício a segunda pedra está quando a diferença de altura entre as duas é de 36 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento uniformemente acelerado e queda livre, onde a aceleração é a gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica para a posição de um objeto em queda livre:
s = s0 + v0 t + 12 g t^2
Aqui:
  • s = 12 g t^2 é a posição final,
  • é a posição inicial,
  • é a velocidade inicial (que é 0, já que as pedras são largadas),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é o tempo.
Como as pedras são largadas do repouso, a equação simplifica para:

Passo 3

Vamos chamar o tempo desde que a primeira pedra foi largada de . Como a segunda pedra é largada 1,6 segundos depois, o tempo para a segunda pedra será .
Então:
  • Posição da primeira pedra:
  • Posição da segunda pedra:

Passo 4

A separação entre as duas pedras é de 36 metros quando a segunda pedra está a uma certa distância abaixo do topo. Isso significa que:
s1 - s2 = 36
Substituindo as expressões das posições:
12 g t^2 - 12 g (t - 1,6)^2 = 36

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar 12 g [ t^2 - (t - 1,6)^2 ] = 36 .
Primeiro, factoramos (t - 1,6)^2 = t^2 - 3,2t + 2,56 :
12 g [ t^2 - t^2 + 3,2t - 2,56 ] = 36
Expandindo 12 g (3,2t - 2,56) = 36 :
g (3,2t - 2,56) = 72
Substituindo de volta:
3,2t - 2,56 = 72g
Simplificando:
3,2t = 72g + 2,56
Multiplicando ambos os lados por 2:
t = 72g + 2,563,2
Dividindo por t = 729,8 + 2,563,2 approx 7,35 + 2,563,2 approx 9,913,2 approx 3,097 , s :
Agora isolamos :
Substituindo :

Passo 6

Agora que temos o tempo s2 = 12 g (t - 1,6)^2 , vamos encontrar a posição da segunda pedra nesse instante.
Usando a fórmula da posição para a segunda pedra:
s2 = 12 times 9,8 times (3,097 - 1,6)^2 approx 12 times 9,8 times (1,497)^2 approx 4,9 times 2,241 approx 10,98 , m
Substituindo :

Resposta

A segunda pedra está a aproximadamente 11 metros abaixo do topo do precipício quando a separação entre as duas é de 36 metros.

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