Considere a um fio condutor de cobre cilíndrico de raio R=2,0 mm, com uma densidade de corrente paralela ao eixo do cilindro. (b) Suponha agora que a densidade de corrente varie com a distância radial r como J=a r^2, sendo a=3,0 times 10^11 A / m^4 e r em metros. Qual a corrente através da mesma porção do fio do item anterior?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fio de cobre cilíndrico com raio . A densidade de corrente nesse fio não é constante; ela varia com a distância radial de acordo com a fórmula , onde . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a corrente total que passa por esse fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica total I = integral J , dA que passa por uma área pode ser calculada integrando a densidade de corrente dA = 2pi r , dr sobre essa área. Matemáticamente, isso é representado por:
Como o fio é cilíndrico, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. A área diferencial de um anel com raio e espessura é:

Passo 3

Agora, substituímos a expressão de I = integral0^R J cdot dA = integral0^R a r^2 cdot 2pi r , dr e I = 2pi a integral0^R r^3 , dr na integral para encontrar a corrente total:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 4

Vamos resolver a integral integral0^R r^3 , dr = [ r^44 ]0^R = R^44 . A antiderivada de é , então:

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão da corrente:
I = 2pi a cdot R^44 = pi a R^42

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Primeiro, precisamos converter o raio de milímetros para metros:
R = 2,0 , mm = 2,0 times 10^-3 , m
Então, calculamos R^4 = (2,0 times 10^-3 , m)^4 = 1,6 times 10^-11 , m^4 :

Passo 7

Substituindo I = pi times 3,0 times 10^11 , A/m^4 times 1,6 times 10^-11 , m^42 e I = pi times 482 = 24pi na expressão da corrente:
I approx 75,4 , A
Multiplicando os números:
Calculando :

Resposta

A corrente total que passa pela porção do fio é aproximadamente .

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