Considere a um fio condutor de cobre cilíndrico de raio
, com uma densidade de corrente paralela ao eixo do cilindro. (b) Suponha agora que a densidade de corrente varie com a distância radial
como
, sendo
e
em metros. Qual a corrente através da mesma porção do fio do item anterior?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fio de cobre cilíndrico com raio
. A densidade de corrente
nesse fio não é constante; ela varia com a distância radial
de acordo com a fórmula
, onde
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a corrente total que passa por esse fio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica total
que passa por uma área pode ser calculada integrando a densidade de corrente
sobre essa área. Matemáticamente, isso é representado por:
Como o fio é cilíndrico, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. A área diferencial
de um anel com raio
e espessura
é:
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de
e
na integral para encontrar a corrente total:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 4
Vamos resolver a integral
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão da corrente:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Primeiro, precisamos converter o raio de milímetros para metros:
Então, calculamos
:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão da corrente:
Multiplicando os números:
Calculando
:
Resposta
A corrente total que passa pela porção do fio é aproximadamente
.