Considere a um fio condutor de cobre cilíndrico de raio
, com uma densidade de corrente paralela ao eixo do cilindro. (b) Suponha agora que a densidade de corrente varie com a distância radial
como
, sendo
e
em metros. Qual a corrente através da mesma porção do fio do item anterior?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fio de cobre cilíndrico com raio
. A densidade de corrente
nesse fio não é constante; ela varia com a distância radial
de acordo com a fórmula
, onde
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a corrente total que passa por esse fio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica total
que passa por uma área pode ser calculada integrando a densidade de corrente
sobre essa área. Matemáticamente, isso é representado por:
Como o fio é cilíndrico, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. A área diferencial
de um anel com raio
e espessura
é:
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de
e
na integral para encontrar a corrente total:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 4
Vamos resolver a integral
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão da corrente:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Primeiro, precisamos converter o raio de milímetros para metros:
Então, calculamos
:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão da corrente:
Multiplicando os números:
Calculando
:
Resposta
A corrente total que passa pela porção do fio é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
- Em um ponto de um encanamento, a velocidade da água é
e a pressão manométrica é igual a . Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto, abaixo do primeiro, sabendo que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro.
Resp:
Um fio de cobre com área de seção transversal de
possui uma corrente de
uniformemente distribuída por essa área. O fio possui
de comprimento. (a) Qual a intensidade do campo elétrico ao longo do fio?
Um fio de cobre de comprimento
é conectado a uma bateria com
. A resistividade do cobre é
, e o número de elétrons de condução por metro cúbico é
. Qual é a velocidade de deriva dos elétrons de condução sob estás circunstâncias? Obs.: A título de comparação, a velocidade de um elétron livre é ordem de
.
Um fio de cobre com área de seção transversal de
possui uma corrente de
uniformemente distribuída por essa área. O fio possui
de comprimento. (b) Quanta energia elétrica é transferida para energia térmica em 30 minutos?