Considere a um fio condutor de cobre cilíndrico de raio , com uma densidade de corrente paralela ao eixo do cilindro. (b) Suponha agora que a densidade de corrente varie com a distância radial como , sendo e em metros. Qual a corrente através da mesma porção do fio do item anterior?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fio de cobre cilíndrico com raio . A densidade de corrente nesse fio não é constante; ela varia com a distância radial de acordo com a fórmula , onde . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a corrente total que passa por esse fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica total que passa por uma área pode ser calculada integrando a densidade de corrente sobre essa área. Matemáticamente, isso é representado por:
Como o fio é cilíndrico, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. A área diferencial de um anel com raio e espessura é:

Passo 3

Agora, substituímos a expressão de e na integral para encontrar a corrente total:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 4

Vamos resolver a integral . A antiderivada de é , então:

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão da corrente:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Primeiro, precisamos converter o raio de milímetros para metros:
Então, calculamos :

Passo 7

Substituindo e na expressão da corrente:
Multiplicando os números:
Calculando :

Resposta

A corrente total que passa pela porção do fio é aproximadamente .

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