• Em um ponto de um encanamento, a velocidade da água é 3,0 m / s e a pressão manométrica é igual a 5,00 times 10^4 Pa. Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto, 11,0 m abaixo do primeiro, sabendo que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro.
    Resp: 1,62 times 10^5 Pa

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos em um encanamento onde a água está fluindo. No primeiro ponto, a velocidade da água é de e a pressão manométrica é . Queremos descobrir qual é a pressão manométrica no segundo ponto, que está abaixo do primeiro e com o diâmetro do cano dobrado. Para resolver isso, vamos precisar das equações de continuidade e da equação de Bernoulli, que lidam com conservação de massa e energia em fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a equação de continuidade. Essa equação nos diz que, em um fluxo constante, o produto da área da seção transversal pelo velocidade do fluido permanece constante. Como o diâmetro do cano dobra no segundo ponto, a área aumenta com o quadrado do diâmetro.
A equação de continuidade é:
A1 v1 = A2 v2
Como o diâmetro dobra ( A2 = pi (d22)^2 = pi (2d12)^2 = 4A1 ), a área A1 v1 = 4A1 v2 implies v2 = v14 = 3,0 , m/s4 = 0,75 , m/s varia com o quadrado do diâmetro:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura entre dois pontos em um fluxo constante. A equação de Bernoulli é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • 5,00 times 10^4 + 12 times 1000 times (3,0)^2 + 1000 times 9,81 times 0 = P2 + 12 times 1000 times (0,75)^2 + 1000 times 9,81 times (-11,0) é a pressão,
  • é a densidade da água ( ),
  • é a velocidade,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
Como o segundo ponto está abaixo, temos . Vamos assumir que para simplificar, então .
Substituindo na equação de Bernoulli:

Passo 4

Vamos resolver a equação passo a passo:
  1. Calculando os termos do primeiro ponto:
12 times 1000 times 9 = 4500 , Pa
  1. Calculando os termos do segundo ponto:
12 times 1000 times 0,5625 = 281,25 , Pa
1000 times 9,81 times (-11,0) = -1,0791 times 10^5 , Pa
Agora, substituindo de volta:
5,00 times 10^4 + 4500 = P2 + 281,25 - 1,0791 times 10^5
Somando os termos do lado esquerdo:
5,00 times 10^4 + 4500 = 5,45 times 10^4 , Pa
E rearranjando para encontrar P2 = 5,45 times 10^4 - 281,25 + 1,0791 times 10^5 :
P2 = 1,62 times 10^5 , Pa

Resposta

A pressão manométrica no segundo ponto é .

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