Considere um fio delgado (fino) com o formato de uma curva plana . Se é a função densidade linear de massa do fio, então a massa total do fio é dada por
Suponha que um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio . Se a função densidade linear desse fio for , em que é uma constante, encontre a massa total do arame.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa total de um fio que está na parte do primeiro quadrante de uma circunferência com raio . A densidade linear de massa desse fio é dada por , onde é uma constante. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integrando ao longo de uma curva, especificamente uma integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a massa total de um fio é calculada pela integral da densidade linear ao longo da curva :
Aqui, representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Como o fio está na parte do primeiro quadrante de uma circunferência de raio , podemos parametrizar essa curva usando coordenadas polares. Vamos usar:
onde varia de a para cobrir o primeiro quadrante.
Passo 4
Agora, precisamos expressar em termos de . A fórmula para em coordenadas polares é:
Isso porque para uma circunferência de raio .
Passo 5
Substituindo , e na expressão da massa, temos:
Substituindo e :
Passo 6
Para resolver a integral , podemos usar a substituição , então :
Aplicando os limites de a :
Passo 7
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão da massa: