Considere um fio delgado (fino) com o formato de uma curva plana C. Se f(x, y)=rho(x, y) é a função densidade linear de massa do fio, então a massa total M do fio é dada por
M=integralC rho(x, y) d s
Suponha que um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio a>0. Se a função densidade linear desse fio for rho(x, y)=k x y, em que k é uma constante, encontre a massa total do arame.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa total de um fio que está na parte do primeiro quadrante de uma circunferência com raio . A densidade linear de massa desse fio é dada por , onde é uma constante. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integrando ao longo de uma curva, especificamente uma integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a massa total M = integralC rho(x, y) , ds de um fio é calculada pela integral da densidade linear ao longo da curva :
Aqui, representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Como o fio está na parte do primeiro quadrante de uma circunferência de raio x = a cos theta , podemos parametrizar essa curva usando coordenadas polares. Vamos usar:
y = a sin theta
onde varia de a para cobrir o primeiro quadrante.

Passo 4

Agora, precisamos expressar ds = a , dtheta em termos de . A fórmula para em coordenadas polares é:
Isso porque para uma circunferência de raio .

Passo 5

Substituindo M = integral0^pi2 rho(x, y) , ds = integral0^pi2 kxy cdot a , dtheta , M = integral0^pi2 k (a cos theta)(a sin theta) cdot a , dtheta = k a^3 integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta e na expressão da massa, temos:
Substituindo e :

Passo 6

Para resolver a integral integral cos theta sin theta , dtheta = integral u , du = u^22 + C = sin^2 theta2 + C , podemos usar a substituição sin^2 theta2 |0^pi2 = sin^2 ( pi2 )2 - sin^2 (0)2 = 12 - 0 = 12 , então :
Aplicando os limites de a :

Passo 7

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão da massa:
M = k a^3 cdot 12 = 12 k a^3

Resposta

A massa total do arame é .

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