Determine se o campo vetorial tridimensional F(x, y, z) = (e^z + y, x, x e^z) é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial tridimensional é conservativo. Se for, a gente também vai encontrar a função potencial dele. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, chamada de função potencial. Em outras palavras, existe uma função tal que .

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, vamos calcular o rotacional de , conhecido como . Se o rotacional for igual a zero, o campo é conservativo (em domínios simplesmente conexos).

Passo 4

Vamos lembrar como calcular o rotacional. Para um campo , o rotacional é dado por:

Passo 5

Agora, vamos identificar , e no nosso campo:

Passo 6

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Passo 7

Então, o rotacional de é:
Como o rotacional é zero, isso indica que o campo é conservativo.

Passo 8

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:

Passo 9

Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de e .

Passo 10

Agora, vamos usar a segunda equação :
Isso implica que:
Então, não depende de , ou seja, .

Passo 11

Agora, vamos usar a terceira equação :
Isso implica que:
Então, é uma constante. Podemos chamar de .

Passo 12

Então, a função potencial é:
Podemos simplificar removendo a constante , já que ela não afeta o gradiente:

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e uma função potencial é .

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