Determine se o campo vetorial tridimensional
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial tridimensional
é conservativo. Se for, a gente também vai encontrar a função potencial dele. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, chamada de função potencial. Em outras palavras, existe uma função
tal que
.
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
, conhecido como
. Se o rotacional for igual a zero, o campo é conservativo (em domínios simplesmente conexos).
Passo 4
Vamos lembrar como calcular o rotacional. Para um campo
, o rotacional é dado por:
Passo 5
Agora, vamos identificar
,
e
no nosso campo:
Passo 6
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 7
Então, o rotacional de
é:
Como o rotacional é zero, isso indica que o campo
é conservativo.
Passo 8
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Passo 9
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 10
Agora, vamos usar a segunda equação
:
Isso implica que:
Então,
não depende de
, ou seja,
.
Passo 11
Agora, vamos usar a terceira equação
:
Isso implica que:
Então,
é uma constante. Podemos chamar de
.
Passo 12
Então, a função potencial
é:
Podemos simplificar removendo a constante
, já que ela não afeta o gradiente:
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial é
.
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.
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