Determine os vetores tangente unitário
, normal principal unitário
e Binormal
da curva dada por
, sen
, em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores tangente unitário
, normal principal unitário
e binormal
para a curva dada por
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade da curva, que é a derivada de
em relação a
. Isso nos dá o vetor tangente instantâneo.
Passo 3
Agora, para obter o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar o vetor velocidade. Isso significa dividir o vetor velocidade pelo seu comprimento.
O comprimento de
é:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o vetor derivada de
em relação a
, que nos ajuda a determinar o vetor normal principal
. Isso mostra como a direção da curva está mudando.
Primeiro, derivamos
:
Passo 5
Agora, normalizamos
para obter o vetor normal principal unitário
:
O comprimento de
é:
Então,
Passo 6
Por último, encontramos o vetor binormal
, que é o produto vetorial de
e
. Esse vetor é perpendicular tanto a
quanto a
.
Calculando o produto vetorial:
Fazendo a multiplicação, obtemos:
Resposta
Para
, os vetores são: