Determine os vetores tangente unitário vec(T)(t), normal principal unitário vec(N)(t) e Binormal B(t) da curva dada por r(t) = cos(t), sen t, t, em t = 3 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores tangente unitário vec(T)(t), normal principal unitário vec(N)(t) e binormal B(t) para a curva dada por no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade da curva, que é a derivada de r(t) em relação a t. Isso nos dá o vetor tangente instantâneo.

Passo 3

Agora, para obter o vetor tangente unitário vec(T)(t), precisamos normalizar o vetor velocidade. Isso significa dividir o vetor velocidade pelo seu comprimento.
O comprimento de é:
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor derivada de vec(T)(t) em relação a t, que nos ajuda a determinar o vetor normal principal vec(N)(t). Isso mostra como a direção da curva está mudando.
Primeiro, derivamos vec(T)(t):

Passo 5

Agora, normalizamos para obter o vetor normal principal unitário vec(N)(t):
O comprimento de é:
Então,

Passo 6

Por último, encontramos o vetor binormal B(t), que é o produto vetorial de vec(T)(t) e vec(N)(t). Esse vetor é perpendicular tanto a vec(T)(t) quanto a vec(N)(t).
Calculando o produto vetorial:
Fazendo a multiplicação, obtemos:

Resposta

Para , os vetores são:

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