Determine os vetores tangente unitário , normal principal unitário e Binormal da curva dada por , sen , em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores tangente unitário , normal principal unitário e binormal para a curva dada por no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade da curva, que é a derivada de em relação a . Isso nos dá o vetor tangente instantâneo.

Passo 3

Agora, para obter o vetor tangente unitário , precisamos normalizar o vetor velocidade. Isso significa dividir o vetor velocidade pelo seu comprimento.
O comprimento de é:
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor derivada de em relação a , que nos ajuda a determinar o vetor normal principal . Isso mostra como a direção da curva está mudando.
Primeiro, derivamos :

Passo 5

Agora, normalizamos para obter o vetor normal principal unitário :
O comprimento de é:
Então,

Passo 6

Por último, encontramos o vetor binormal , que é o produto vetorial de e . Esse vetor é perpendicular tanto a quanto a .
Calculando o produto vetorial:
Fazendo a multiplicação, obtemos:

Resposta

Para , os vetores são:

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ã
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