Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
(a) O campo vetorial é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se o campo vetorial é conservativo. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como verificar isso usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Simplificando, um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que , ou seja, . Isso também significa que o campo não depende do caminho percorrido, apenas dos pontos inicial e final.

Passo 3

Uma maneira prática de verificar se um campo é conservativo é usando a condição de conservatividade para campos bidimensionais. Se , então o campo é conservativo se:
Isso é uma consequência do teorema de Poincaré para simplesmente conexos.

Passo 4

Vamos aplicar essa condição ao nosso campo . Aqui, e . Precisamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas que calculamos:
Claramente, . Portanto, as derivadas parciais não são iguais.

Passo 6

Como a condição não é satisfeita, concluímos que o campo vetorial não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo porque as derivadas parciais e não são iguais.

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