Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
(a) O campo vetorial
é conservativo.
(a) O campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se o campo vetorial
é conservativo. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como verificar isso usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Simplificando, um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
, ou seja,
. Isso também significa que o campo não depende do caminho percorrido, apenas dos pontos inicial e final.
Passo 3
Uma maneira prática de verificar se um campo é conservativo é usando a condição de conservatividade para campos bidimensionais. Se
, então o campo é conservativo se:
Isso é uma consequência do teorema de Poincaré para simplesmente conexos.
Passo 4
Vamos aplicar essa condição ao nosso campo
. Aqui,
e
. Precisamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas que calculamos:
Claramente,
. Portanto, as derivadas parciais não são iguais.
Passo 6
Como a condição
não é satisfeita, concluímos que o campo vetorial
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo porque as derivadas parciais
e
não são iguais.