Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante t (em segundos) é
r(t) = t * i + (t^2 + 1) * j + k, 0 <= t < infinito (todas as componentes estão em metros)ã
© Determine as componentes tangencial e normal da aceleração da partícula no instante de tempo t = 2 s.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos a posição de uma partícula no espaço dada por:
onde t é o tempo em segundos. Queremos encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração da partícula no instante segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Calculando a derivada de cada componente:
  • Derivada de t em relação a t é 1.
  • Derivada de em relação a t é .
  • Derivada de k em relação a t é 0, já que k é constante.
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando a derivada de cada componente da velocidade:
  • Derivada de 1 em relação a t é 0.
  • Derivada de em relação a t é .
  • Derivada de 0 em relação a t é 0.
Então, a aceleração é:

Passo 4

Vamos avaliar a velocidade e a aceleração no instante segundos:

Passo 5

Para encontrar a componente tangencial da aceleração, precisamos primeiro encontrar o vetor tangente unitário T(t). Esse vetor é dado pela velocidade dividida pelo módulo da velocidade:
Calculando o módulo da velocidade em :
Então,

Passo 6

A componente tangencial da aceleração é o produto escalar da aceleração pelo vetor tangente:
No instante :

Passo 7

Para encontrar a componente normal da aceleração, usamos a relação:
Primeiro, calculamos o módulo da aceleração:
Agora, substituindo:

Resposta

A componente tangencial da aceleração no instante s é ² e a componente normal é ².

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