Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
© Determine as componentes tangencial e normal da aceleração da partícula no instante de tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos a posição de uma partícula no espaço dada por:
onde
é o tempo em segundos. Queremos encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração da partícula no instante
segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Calculando a derivada de cada componente:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é , já que é constante.
Então, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando a derivada de cada componente da velocidade:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, a aceleração é:
Passo 4
Vamos avaliar a velocidade e a aceleração no instante
segundos:
Passo 5
Para encontrar a componente tangencial da aceleração, precisamos primeiro encontrar o vetor tangente unitário
. Esse vetor é dado pela velocidade dividida pelo módulo da velocidade:
Calculando o módulo da velocidade em
:
Então,
Passo 6
A componente tangencial da aceleração é o produto escalar da aceleração pelo vetor tangente:
No instante
:
Passo 7
Para encontrar a componente normal da aceleração, usamos a relação:
Primeiro, calculamos o módulo da aceleração:
Agora, substituindo:
Resposta
A componente tangencial da aceleração no instante
s é
e a componente normal é
.