Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante (em segundos) é
ã
© Determine as componentes tangencial e normal da aceleração da partícula no instante de tempo .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos a posição de uma partícula no espaço dada por:
onde é o tempo em segundos. Queremos encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração da partícula no instante segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Calculando a derivada de cada componente:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é , já que é constante.
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando a derivada de cada componente da velocidade:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, a aceleração é:

Passo 4

Vamos avaliar a velocidade e a aceleração no instante segundos:

Passo 5

Para encontrar a componente tangencial da aceleração, precisamos primeiro encontrar o vetor tangente unitário . Esse vetor é dado pela velocidade dividida pelo módulo da velocidade:
Calculando o módulo da velocidade em :
Então,

Passo 6

A componente tangencial da aceleração é o produto escalar da aceleração pelo vetor tangente:
No instante :

Passo 7

Para encontrar a componente normal da aceleração, usamos a relação:
Primeiro, calculamos o módulo da aceleração:
Agora, substituindo:

Resposta

A componente tangencial da aceleração no instante s é ² e a componente normal é ².

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Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
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Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
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