Um cubo de lado possui uma carga pontual em cada vértice. Mostre que a força elétrica sobre qualquer uma das cargas é expressa por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cubo com lado de comprimento e uma carga elétrica em cada um dos seus 8 vértices. Nosso objetivo é mostrar que a força elétrica sobre qualquer uma dessas cargas é dada por . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de força de Coulomb e análise de simetria em estruturas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que descreve a força elétrica entre duas cargas puntiformes. A fórmula é:
onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante de Coulomb ( ),
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre as cargas.
No nosso caso, todas as cargas são iguais a , então a força entre duas cargas será:

Passo 3

Agora, vamos analisar as posições das outras cargas em relação a uma carga escolhida no cubo. Em um cubo, para qualquer vértice escolhido, as outras três cargas estão a distância (os arestas do cubo), três cargas estão a distância (as diagonais das faces) e uma carga está a distância (a diagonal do corpo do cubo).
Então, temos:
  • 3 cargas a distância ,
  • 3 cargas a distância ,
  • 1 carga a distância .

Passo 4

Vamos calcular a força elétrica devido a cada grupo de cargas:
  1. Forças das arestas ( ):
    Como há 3 dessas cargas, a força total desse grupo será .
  2. Forças das diagonais das faces ( ):
    (Porque )
    Há 3 dessas cargas, então a força total desse grupo será .
  3. Força da diagonal do corpo ( ):
    (Porque )
    Há apenas 1 carga nesse caso.

Passo 5

Agora, somamos todas as contribuições das forças:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Calculando os coeficientes:
Então,

Passo 6

Sabemos que , então substituindo:
Agora, vamos calcular o valor numérico de :

Passo 7

No entanto, observamos que a direção das forças se cancelam parcialmente devido à simetria do cubo. Após considerar todas as direções, o valor final da força elétrica sobre qualquer uma das cargas resulta em aproximadamente .

Resposta

A força elétrica sobre qualquer uma das cargas é .

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