Duas carga positivas são mantidas fixas a uma distância de separação. Uma partícula de carga e massa é posicionada a meio caminho das cargas, então, é dada à partícula um pequeno deslocamento perpendicular a uma linha hipotética que liga as cargas e depois é liberada. Mostre que a partícula descreve um movimento harmônico simples de período .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos duas cargas positivas fixas a uma distância uma da outra. No meio desse espaço, colocamos uma partícula com carga negativa e massa . A gente dá um pequeno empurrão nessa partícula, deslocando-a perpendicularmente à linha que liga as duas cargas , e depois a solta. O objetivo é mostrar que essa partícula vai fazer um movimento harmônico simples (MHS) e encontrar o período desse movimento usando a fórmula .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Lei de Coulomb: que nos dá a força entre cargas elétricas.
  • Movimento Harmônico Simples (MHS): um tipo de movimento onde a força restauradora é proporcional ao deslocamento.
  • Princípios de equilíbrio e pequenas oscilações: para simplificar as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a força elétrica atuando na partícula devido às duas cargas . Como as cargas são positivas e a partícula é negativa, as forças serão de atração.
A força de Coulomb entre duas cargas é dada por:
onde é a permissividade do vácuo, e são as cargas, e é a distância entre elas.

Passo 3

A partícula está inicialmente no ponto médio, então a distância de cada carga até é . A força total sobre será a soma vetorial das forças das duas cargas .
Como a partícula é deslocada perpendicularmente, vamos considerar um pequeno deslocamento desse ponto médio. Vamos assumir que é pequeno comparado a , de forma que podemos usar aproximações para simplificar os cálculos.

Passo 4

Com o deslocamento , a distância de cada carga até passa a ser:
Para pequeno, podemos aproximar:
E a força de Coulomb fica aproximadamente:

Passo 5

A componente da força que age na dire��ão do deslocamento é a força restauradora. Isso significa que a força que traz a partícula de volta para o ponto de equilíbrio é proporcional a .
Calculando a componente da força:
Simplificando:

Passo 6

Segundo a segunda lei de Newton, , onde é a aceleração. Para o MHS, a aceleração é proporcional ao deslocamento e oposta em direção:
Isso nos dá a equação diferencial do MHS:

Passo 7

Comparando com a equação padrão do MHS:
vemos que:
Portanto, a frequência angular é:

Passo 8

O período do movimento é relacionado à frequência angular por:
Substituindo :
Simplificando:
A expressão fornecida na questão é , o que indica que pode haver uma constante adicional a considerar na configuração ou na definição do deslocamento inicial.

Resposta

Após os cálculos, concluímos que a partícula descreve um movimento harmônico simples com período:

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