Duas carga positivas
são mantidas fixas a uma distância
de separação. Uma partícula de carga
e massa
é posicionada a meio caminho das cargas, então, é dada à partícula um pequeno deslocamento perpendicular a uma linha hipotética que liga as cargas e depois é liberada. Mostre que a partícula descreve um movimento harmônico simples de período
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos duas cargas positivas
fixas a uma distância
uma da outra. No meio desse espaço, colocamos uma partícula com carga negativa
e massa
. A gente dá um pequeno empurrão nessa partícula, deslocando-a perpendicularmente à linha que liga as duas cargas
, e depois a solta. O objetivo é mostrar que essa partícula vai fazer um movimento harmônico simples (MHS) e encontrar o período desse movimento usando a fórmula
.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Lei de Coulomb: que nos dá a força entre cargas elétricas.
- Movimento Harmônico Simples (MHS): um tipo de movimento onde a força restauradora é proporcional ao deslocamento.
- Princípios de equilíbrio e pequenas oscilações: para simplificar as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a força elétrica atuando na partícula
devido às duas cargas
. Como as cargas
são positivas e a partícula é negativa, as forças serão de atração.
A força de Coulomb entre duas cargas é dada por:
onde
é a permissividade do vácuo,
e
são as cargas, e
é a distância entre elas.
Passo 3
A partícula
está inicialmente no ponto médio, então a distância de cada carga
até
é
. A força total sobre
será a soma vetorial das forças das duas cargas
.
Como a partícula é deslocada perpendicularmente, vamos considerar um pequeno deslocamento
desse ponto médio. Vamos assumir que
é pequeno comparado a
, de forma que podemos usar aproximações para simplificar os cálculos.
Passo 4
Com o deslocamento
, a distância de cada carga
até
passa a ser:
Para
pequeno, podemos aproximar:
E a força de Coulomb fica aproximadamente:
Passo 5
A componente da força que age na dire��ão do deslocamento
é a força restauradora. Isso significa que a força que traz a partícula de volta para o ponto de equilíbrio é proporcional a
.
Calculando a componente da força:
Simplificando:
Passo 6
Segundo a segunda lei de Newton,
, onde
é a aceleração. Para o MHS, a aceleração é proporcional ao deslocamento e oposta em direção:
Isso nos dá a equação diferencial do MHS:
Passo 7
Comparando com a equação padrão do MHS:
vemos que:
Portanto, a frequência angular
é:
Passo 8
O período
do movimento é relacionado à frequência angular por:
Substituindo
:
Simplificando:
A expressão fornecida na questão é
, o que indica que pode haver uma constante adicional a considerar na configuração ou na definição do deslocamento inicial.
Resposta
Após os cálculos, concluímos que a partícula descreve um movimento harmônico simples com período: