Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico
, sendo
uma função bem-comportada. Calcule as derivadas
e
em função da temperatura e da pressão.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um fluido caracterizado por um potencial termodinâmico dado por:
Aqui,
é uma função que depende bem do tempo,
é o volume,
é o potencial químico, e
é a constante de Boltzmann. A questão quer que calculemos duas derivadas termodinâmicas:
e
, que geralmente representam o coeficiente de expansão térmica e a compressibilidade isoterma, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e as relações termodinâmicas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são
e
:
- Coeficiente de expansão térmica (
):
Esse coeficiente nos diz como o volume muda com a temperatura a pressão constante.
- Compressibilidade isoterma (
):
Esse mede como o volume muda com a pressão a temperatura constante.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Precisamos encontrar
mantendo a pressão constante. Mas primeiro, precisamos relacionar
com pressão e temperatura.
Sabemos que o potencial termodinâmico
está relacionado à energia livre de Helmholtz:
E também sabemos que:
Isso nos dá uma relação entre
e pressão.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
a temperatura constante:
E sabemos que isso é igual a
, então:
Mas como pressão geralmente é positiva, devemos ter cuidado com os sinais. Supondo que há um erro de sinal, podemos escrever:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
a pressão constante. Vamos derivar a expressão de
em relação a
:
Usando a regra do produto:
Passo 6
Sabemos que, a pressão constante, a derivada de
em relação a
é igual a
(entropia). Então:
Mas isso pode ficar complicado, então vamos tentar outra abordagem usando a definição de
.
Passo 7
Como
, podemos resolver para
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Então,
. Agora, vamos usar
para encontrar
.
Passo 8
Sabendo que
, derivamos em relação a
a pressão constante:
E sabemos que
, então:
Agora, usando a definição de
:
Passo 9
Agora, vamos calcular
. Precisamos de
a temperatura constante.
Começando novamente com
, derivamos em relação a
a temperatura constante:
E sabemos que
(relacionamento termodinâmico). Então:
Portanto:
Agora, usando a definição de
:
Resposta
Os coeficientes derivados são:
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Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico
, sendo
uma função bem-comportada. Obtenha a energia livre de Helmholtz
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Considere uma transição de fase líquido gás, ocorrendo a uma temperatura definida
(temperatura de ebulição) e a uma pressão definida
(pressão de vapor). Escreva as variações nas energias livres de Gibbs e de Helmholtz quando uma massa
de líquido se evapora nessa temperatura.