Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico , sendo uma função bem-comportada. Calcule as derivadas e em função da temperatura e da pressão.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um fluido caracterizado por um potencial termodinâmico dado por:
Aqui, é uma função que depende bem do tempo, é o volume, é o potencial químico, e é a constante de Boltzmann. A questão quer que calculemos duas derivadas termodinâmicas: e , que geralmente representam o coeficiente de expansão térmica e a compressibilidade isoterma, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e as relações termodinâmicas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são e :
  • Coeficiente de expansão térmica ( ):
Esse coeficiente nos diz como o volume muda com a temperatura a pressão constante.
  • Compressibilidade isoterma ( ):
Esse mede como o volume muda com a pressão a temperatura constante.

Passo 3

Vamos começar calculando . Precisamos encontrar mantendo a pressão constante. Mas primeiro, precisamos relacionar com pressão e temperatura.
Sabemos que o potencial termodinâmico está relacionado à energia livre de Helmholtz:
E também sabemos que:
Isso nos dá uma relação entre e pressão.

Passo 4

Vamos derivar em relação a a temperatura constante:
E sabemos que isso é igual a , então:
Mas como pressão geralmente é positiva, devemos ter cuidado com os sinais. Supondo que há um erro de sinal, podemos escrever:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a pressão constante. Vamos derivar a expressão de em relação a :
Usando a regra do produto:

Passo 6

Sabemos que, a pressão constante, a derivada de em relação a é igual a (entropia). Então:
Mas isso pode ficar complicado, então vamos tentar outra abordagem usando a definição de .

Passo 7

Como , podemos resolver para :
Substituindo de volta na expressão de :
Então, . Agora, vamos usar para encontrar .

Passo 8

Sabendo que , derivamos em relação a a pressão constante:
E sabemos que , então:
Agora, usando a definição de :

Passo 9

Agora, vamos calcular . Precisamos de a temperatura constante.
Começando novamente com , derivamos em relação a a temperatura constante:
E sabemos que (relacionamento termodinâmico). Então:
Portanto:
Agora, usando a definição de :

Resposta

Os coeficientes derivados são:

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