Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico Phi= V f0(T) e^mu / kB T, sendo f0(T) uma função bem-comportada. Calcule as derivadas beta e kappa em função da temperatura e da pressão.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um fluido caracterizado por um potencial termodinâmico dado por:
Phi = V f0(T) e^mu / kB T
Aqui, é uma função que depende bem do tempo, é o volume, é o potencial químico, e é a constante de Boltzmann. A questão quer que calculemos duas derivadas termodinâmicas: e , que geralmente representam o coeficiente de expansão térmica e a compressibilidade isoterma, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e as relações termodinâmicas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são beta = 1V ( partial Vpartial T )P e kappa = -1V ( partial Vpartial P )T :
  • Coeficiente de expansão térmica ( ):
Esse coeficiente nos diz como o volume muda com a temperatura a pressão constante.
  • Compressibilidade isoterma ( ):
Esse mede como o volume muda com a pressão a temperatura constante.

Passo 3

Vamos começar calculando Phi = F = U - T S . Precisamos encontrar ( partial Phipartial V )T = -P mantendo a pressão constante. Mas primeiro, precisamos relacionar com pressão e temperatura.
Sabemos que o potencial termodinâmico está relacionado à energia livre de Helmholtz:
E também sabemos que:
Isso nos dá uma relação entre e pressão.

Passo 4

Vamos derivar partial Phipartial V = partialpartial V ( V f0(T) e^mu / kB T ) = f0(T) e^mu / kB T em relação a f0(T) e^mu / kB T = -P a temperatura constante:
P = f0(T) e^mu / kB T
E sabemos que isso é igual a , então:
Mas como pressão geralmente é positiva, devemos ter cuidado com os sinais. Supondo que há um erro de sinal, podemos escrever:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar partial Phipartial T = partialpartial T ( V f0(T) e^mu / kB T ) a pressão constante. Vamos derivar a expressão de partial Phipartial T = V d f0(T)d T e^mu / kB T + V f0(T) e^mu / kB T ( -mukB T^2 ) em relação a :
Usando a regra do produto:

Passo 6

Sabemos que, a pressão constante, a derivada de -V d f0(T)d T e^mu / kB T + V f0(T) e^mu / kB T mukB T^2 = -S em relação a é igual a (entropia). Então:
Mas isso pode ficar complicado, então vamos tentar outra abordagem usando a definição de .

Passo 7

Como f0(T) = Pe^mu / kB T , podemos resolver para Phi = V Pe^mu / kB T e^mu / kB T = V P :
Substituindo de volta na expressão de :
Então, . Agora, vamos usar para encontrar .

Passo 8

Sabendo que partial Phipartial T = P partial Vpartial T , derivamos em relação a -P partial Vpartial T = -S implies partial Vpartial T = SP a pressão constante:
beta = 1V ( partial Vpartial T )P = SP V
E sabemos que , então:
Agora, usando a definição de :

Passo 9

Agora, vamos calcular partial Phipartial P = V + P partial Vpartial P . Precisamos de V + P partial Vpartial P = -V implies P partial Vpartial P = -2V a temperatura constante.
Começando novamente com partial Vpartial P = -2VP , derivamos em relação a kappa = -1V ( partial Vpartial P )T = -1V ( -2VP ) = 2P a temperatura constante:
E sabemos que (relacionamento termodinâmico). Então:
Portanto:
Agora, usando a definição de :

Resposta

Os coeficientes derivados são:
beta = SP V
kappa = 2P

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