Considere um fluido em escoamento estacionário cujo campo de velocidades é dado por
, onde
e
são constantes não nulas. Escreva as equações diferenciais que determinam as trajetórias (linhas de campo) das partícula do fluido (não é necessário resolvê-las).
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um fluido que está se movendo de maneira constante (isso é o que a gente chama de escoamento estacionário). A velocidade desse fluido em qualquer ponto do espaço é dada por
, onde
,
e
são constantes diferentes de zero. O que a gente precisa fazer é escrever as equações diferenciais que descrevem as trajetórias das partículas desse fluido, ou seja, as linhas de campo que cada partícula vai seguir enquanto o fluido está se movendo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que as trajetórias das partículas do fluido são como “caminhos” que cada partícula segue ao longo do tempo. Para encontrar essas trajetórias, precisamos relacionar como as posições
de uma partícula mudam no tempo em função das velocidades nas direções
,
e
.
Passo 3
Sabemos que a velocidade em cada direção é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Essas equações nos dizem como cada coordenada muda no tempo, mas o que queremos são as relações entre as diferentes variáveis espaciais para descrever a trajetória, independente do tempo.
Passo 4
Para eliminar o tempo e relacionar diretamente
e
com
, podemos dividir as equações de velocidade. Primeiro, dividimos
pela
:
Fazemos o mesmo para
:
Essas são as equações diferenciais que determinam as trajetórias das partículas do fluido.
Resposta
As equações diferenciais que determinam as trajetórias das partículas do fluido são:
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, onde
e
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Considere um fluido em escoamento estacionário cujo campo de velocidades é dado por
, onde
e
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e
em um determinado instante. Qual a relação entre
e
para que
, onde
é o volume do cubo?