Encontre uma representação em série de potências para a função dada e determine o intervalo de convergência

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função dada e, em seguida, determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e manipulação algébrica. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a função para deixá-la parecida com a forma de uma série geométrica, que é algo como , onde para a série convergir. Para isso, vamos fatorar o denominador.

Passo 3

Vamos reescrever o denominador de maneira a termos o “1” no denominador da fração. Podemos fazer isso assim:
Portanto, a função fica:

Passo 4

Agora, observe que pode ser escrito como . Isso se parece muito com a fórmula da série geométrica, que é:
Aqui, . Então, podemos substituir na série geométrica.

Passo 5

Substituindo na série geométrica, temos:
Multiplicando pela constante , a representação em série de potências da função fica:

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para uma série geométrica , ela converge quando . No nosso caso, , então:

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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