Encontre uma representação em série de potências para a função dada e determine o intervalo de convergência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função dada e, em seguida, determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e manipulação algébrica. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a função para deixá-la parecida com a forma de uma série geométrica, que é algo como , onde para a série convergir. Para isso, vamos fatorar o denominador.
Passo 3
Vamos reescrever o denominador de maneira a termos o “1” no denominador da fração. Podemos fazer isso assim:
Portanto, a função fica:
Passo 4
Agora, observe que pode ser escrito como . Isso se parece muito com a fórmula da série geométrica, que é:
Aqui, . Então, podemos substituir na série geométrica.
Passo 5
Substituindo na série geométrica, temos:
Multiplicando pela constante , a representação em série de potências da função fica:
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para uma série geométrica , ela converge quando . No nosso caso, , então:
Resposta
A representação em série de potências para a função é: