Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências a seguir
sumk=1^infty(-1)^k+1 (x+1)^kk

Passo 1

Então, a gente tem uma série de potências que precisa descobrir o raio de convergência e o intervalo onde ela realmente converge. A matéria aqui é sobre séries de potências, e vamos usar o Critério da Razão pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver qual é a forma geral da série:
sumk=1^infty (-1)^k+1 (x+1)^kk
Isso significa que a série está centrada em .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, a gente usa o Critério da Razão, que diz que a série converge se:
limk to infty | ak+1ak | < 1
Onde .

Passo 4

Vamos calcular esse limite:
| ak+1ak | = | (-1)^(k+1)+1 (x+1)^k+1k+1(-1)^k+1 (x+1)^kk | = | (x+1)^k+1 cdot k(x+1)^k cdot (k+1) | = | (x+1) cdot kk+1 |
No limite, limk to infty | (x+1) | < 1 tende a 1, então:

Passo 5

Isso significa que:
|x + 1| < 1
Resolvendo essa desigualdade:
-1 < x + 1 < 1 -2 < x < 0
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 6

Agora, vamos verificar as pontas desse intervalo, ou seja, sumk=1^infty (-1)^k+1 (-2+1)^kk = sumk=1^infty (-1)^k+1 (-1)^kk = sumk=1^infty (-1)^2k+1k = sumk=1^infty -1k e sumk=1^infty (-1)^k+1 (0+1)^kk = sumk=1^infty (-1)^k+1 1k , pra ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Essa é a série harmônica divergente.
Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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