Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências a seguir

Passo 1

Então, a gente tem uma série de potências que precisa descobrir o raio de convergência e o intervalo onde ela realmente converge. A matéria aqui é sobre séries de potências, e vamos usar o Critério da Razão pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver qual é a forma geral da série:
Isso significa que a série está centrada em .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, a gente usa o Critério da Razão, que diz que a série converge se:
Onde .

Passo 4

Vamos calcular esse limite:
No limite, tende a 1, então:

Passo 5

Isso significa que:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 6

Agora, vamos verificar as pontas desse intervalo, ou seja, e , pra ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Essa é a série harmônica divergente.
Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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