Considere um fluido em escoamento estacionário cujo campo de velocidades é dado por
, onde
e
são constantes não nulas. Considere o cubo de fluido determinado pelos vértices
e
em um determinado instante. Qual a relação entre
e
para que
, onde
é o volume do cubo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fluido que está fluindo de maneira estacionária, ou seja, sem mudanças no tempo. A velocidade desse fluido é dada por
, onde
,
e
são constantes. Temos um cubo de fluido com vértices nas coordenadas
,
,
e
, e queremos descobrir qual a relação entre
,
e
para que o volume
desse cubo não mude com o tempo, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de divergência do campo de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre divergência. Em física, especialmente em dinâmica dos fluidos, a divergência de um campo de velocidade nos diz como o fluido está “se expandindo” ou “se contraindo” naquele ponto. Se a divergência for zero, isso significa que o fluido está incomprimível naquele ponto, ou seja, o volume não muda com o tempo. A divergência de um campo vetorial
é calculada pela soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas respectivas coordenadas.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do nosso campo de velocidade
. A fórmula para a divergência é:
Calculando cada termo:
Então, a divergência total é:
Passo 4
Agora, para que o volume do cubo não mude com o tempo, a taxa de variação do volume
deve ser zero. Isso acontece quando a divergência do campo de velocidade é igual a zero. Portanto, temos:
Resposta
A relação entre
,
e
para que
é:
Exercícios relacionados
Considere um fluido em escoamento estacionário cujo campo de velocidades é dado por
, onde
e
são constantes não nulas. Considere uma partícula de fluido cuja posição inicial está em um dos eixos coordenados. Explique por que sua trajetória está inteiramente contida neste eixo. O que isto implica para uma partícula na origem?
Considere um fluido em escoamento estacionário cujo campo de velocidades é dado por
, onde
e
são constantes não nulas. Escreva as equações diferenciais que determinam as trajetórias (linhas de campo) das partícula do fluido (não é necessário resolvê-las).
Resolva:
,
De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes leituras de velocidade:
|
0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
23 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 47 | 52 | 60 |
Calcule a distância em km percorrida pelo automóvel usando a Regra do Trapézio Composta.