Considere um fluido em escoamento estacionário cujo campo de velocidades é dado por U(x, y, z) = a x i + b y j + c z k, onde a, b e c são constantes não nulas. Considere o cubo de fluido determinado pelos vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) em um determinado instante. Qual a relação entre a, b e c para que dV/dt=0, onde V é o volume do cubo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fluido que está fluindo de maneira estacionária, ou seja, sem mudanças no tempo. A velocidade desse fluido é dada por U(x, y, z) = a x i + b y j + c z k, onde a, b e c são constantes. Temos um cubo de fluido com vértices nas coordenadas (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), e queremos descobrir qual a relação entre a, b e c para que o volume V desse cubo não mude com o tempo, ou seja, dV/dt=0. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de divergência do campo de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre divergência. Em física, especialmente em dinâmica dos fluidos, a divergência de um campo de velocidade nos diz como o fluido está “se expandindo” ou “se contraindo” naquele ponto. Se a divergência for zero, isso significa que o fluido está incomprimível naquele ponto, ou seja, o volume não muda com o tempo. A divergência de um campo vetorial é calculada pela soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas respectivas coordenadas.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do nosso campo de velocidade U(x, y, z) = a x i + b y j + c z k. A fórmula para a divergência é:
Calculando cada termo:
Então, a divergência total é:

Passo 4

Agora, para que o volume do cubo não mude com o tempo, a taxa de variação do volume deve ser zero. Isso acontece quando a divergência do campo de velocidade é igual a zero. Portanto, temos:

Resposta

A relação entre a, b e c para que dV/dt=0 é:

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