Considere um fluido em escoamento estacionário cujo campo de velocidades é dado por , onde e são constantes não nulas. Considere o cubo de fluido determinado pelos vértices e em um determinado instante. Qual a relação entre e para que , onde é o volume do cubo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fluido que está fluindo de maneira estacionária, ou seja, sem mudanças no tempo. A velocidade desse fluido é dada por , onde , e são constantes. Temos um cubo de fluido com vértices nas coordenadas , , e , e queremos descobrir qual a relação entre , e para que o volume desse cubo não mude com o tempo, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de divergência do campo de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre divergência. Em física, especialmente em dinâmica dos fluidos, a divergência de um campo de velocidade nos diz como o fluido está “se expandindo” ou “se contraindo” naquele ponto. Se a divergência for zero, isso significa que o fluido está incomprimível naquele ponto, ou seja, o volume não muda com o tempo. A divergência de um campo vetorial é calculada pela soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas respectivas coordenadas.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do nosso campo de velocidade . A fórmula para a divergência é:
Calculando cada termo:
Então, a divergência total é:

Passo 4

Agora, para que o volume do cubo não mude com o tempo, a taxa de variação do volume deve ser zero. Isso acontece quando a divergência do campo de velocidade é igual a zero. Portanto, temos:

Resposta

A relação entre , e para que é:

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Considere um fluido em escoamento estacionário cujo campo de velocidades é dado por , onde e são constantes não nulas. Considere uma partícula de fluido cuja posição inicial está em um dos eixos coordenados. Explique por que sua trajetória está inteiramente contida neste eixo. O que isto implica para uma partícula na origem?
Considere um fluido em escoamento estacionário cujo campo de velocidades é dado por , onde e são constantes não nulas. Escreva as equações diferenciais que determinam as trajetórias (linhas de campo) das partícula do fluido (não é necessário resolvê-las).
Resolva:
,
De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes leituras de velocidade:
(min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40
23 25 30 35 40 45 47 52 60
Calcule a distância em km percorrida pelo automóvel usando a Regra do Trapézio Composta.