Considere um fluido em escoamento estacionário cujo campo de velocidades é dado por
, onde
e
são constantes não nulas. Considere uma partícula de fluido cuja posição inicial está em um dos eixos coordenados. Explique por que sua trajetória está inteiramente contida neste eixo. O que isto implica para uma partícula na origem?
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos um fluido em escoamento estacionário com um campo de velocidades dado por
. Queremos entender por que uma partícula de fluido que começa em um dos eixos coordenados permanece nesse eixo durante todo o movimento. Além disso, vamos descobrir o que isso significa para uma partícula que começa na origem. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de dinâmica de fluidos e equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que o campo de velocidades está separado em componentes x, y e z, cada uma dependente apenas da sua respectiva coordenada. Isso significa que o movimento em cada direção é independente das outras. Vamos considerar uma partícula que está inicialmente no eixo x, ou seja, suas coordenadas iniciais são
.
Passo 3
Para essa partícula, as componentes de velocidade são:
Como a partícula está no eixo x inicialmente, temos
e
. Vamos resolver essas equações.
Passo 4
Começando com a direção y:
Como
, a solução dessa equação é
para todo o tempo
. O mesmo vale para a direção z:
Portanto, as coordenadas y e z permanecem zero ao longo do tempo.
Passo 5
Agora, resolvemos para a direção x:
Essa é uma equação diferencial simples cuja solução é:
Portanto, a posição x da partícula varia exponencialmente com o tempo, mas as coordenadas y e z permanecem zero.
Passo 6
Isso mostra que se a partícula começa em um dos eixos coordenados, ela se move apenas ao longo desse eixo, já que as outras coordenadas não mudam. Ou seja, sua trajetória está completamente contida nesse eixo.
Passo 7
Agora, consideremos uma partícula que começa na origem, ou seja,
. Aplicando a solução que encontramos:
Assim, a partícula permanece na origem para todo o tempo, já que não há movimento.
Resposta
Uma partícula de fluido que inicia em um dos eixos coordenados permanece nesse eixo durante todo o movimento porque as componentes de velocidade nas direções não alinhadas ao eixo inicial são nulas. Para uma partícula na origem, isso implica que ela permanece estacionária na origem sem se mover.
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, onde
e
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, onde
e
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e
em um determinado instante. Qual a relação entre
e
para que
, onde
é o volume do cubo?
Resolva:
,