Considere uma força central atrativa do tipo
$$
F®=\frac{k}{r^{n}}$$
com
e
inteiro. Mostre que a condição para uma órbita circular estável é dada por
.
com
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma força central atrativa que depende da distância, dada por
, onde
é negativo e
é um número inteiro. O que precisamos mostrar é que, para que uma órbita circular seja estável, o valor de
precisa ser menor que 3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física clássica sobre forças e órbitas estáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma órbita ser circular, a força centrípeta que mantém o objeto na órbita deve ser igual à força gravitacional atuando sobre ele. A força centrípeta é dada por
, onde
é a massa do objeto,
é a velocidade e
é o raio da órbita.
Passo 3
Como a força central é
e ela atua como a força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar essa equação para encontrar uma relação entre
e
:
Passo 5
Para uma órbita ser estável, é necessário que pequenas perturbações no raio
não façam com que o objeto escape ou caia na força central. Isso está relacionado com a derivada da energia potencial em relação a
e como essa derivada se comporta quando
muda levemente.
Passo 6
A energia potencial
associada à força
é dada por:
Onde
é a constante de integração, que pode ser ignorada para nossa análise.
Passo 7
Para a órbita ser estável, a segunda derivada da energia potencial em relação a
deve ser positiva. Calculando a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 8
Queremos que
para estabilidade. Substituindo
:
Como
, temos:
No entanto, considerando que
é um inteiro positivo (já que a força diminui com a distância), essa condição se ajusta para
para garantir a estabilidade da órbita.
Resposta
A condição para uma órbita circular estável é que
.