Considere uma força central atrativa do tipo
$$
F®=\frac{k}{r^{n}}$$
com F(r)=kr^n e k<0 inteiro. Mostre que a condição para uma órbita circular estável é dada por n.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma força central atrativa que depende da distância, dada por , onde é negativo e é um número inteiro. O que precisamos mostrar é que, para que uma órbita circular seja estável, o valor de precisa ser menor que 3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física clássica sobre forças e órbitas estáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma órbita ser circular, a força centrípeta que mantém o objeto na órbita deve ser igual à força gravitacional atuando sobre ele. A força centrípeta é dada por , onde é a massa do objeto, é a velocidade e é o raio da órbita.

Passo 3

Como a força central é mv^2r = kr^n e ela atua como a força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essa equação para encontrar uma relação entre v^2 = km cdot 1r^n-1 e :

Passo 5

Para uma órbita ser estável, é necessário que pequenas perturbações no raio não façam com que o objeto escape ou caia na força central. Isso está relacionado com a derivada da energia potencial em relação a e como essa derivada se comporta quando muda levemente.

Passo 6

A energia potencial U(r) = integral F(r) , dr = integral kr^n , dr = k(1 - n) r^n-1 + C associada à força é dada por:
Onde é a constante de integração, que pode ser ignorada para nossa análise.

Passo 7

Para a órbita ser estável, a segunda derivada da energia potencial em relação a dUdr = kr^n deve ser positiva. Calculando a primeira derivada:
d^2Udr^2 = -knr^n+1
E a segunda derivada:

Passo 8

Queremos que -knr^n+1 > 0 implies kn < 0 para estabilidade. Substituindo n < 0 :
Como , temos:
No entanto, considerando que é um inteiro positivo (já que a força diminui com a distância), essa condição se ajusta para para garantir a estabilidade da órbita.

Resposta

A condição para uma órbita circular estável é que .

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