Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=\frac{1}{2} k r^{2}$$
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é V=12 k r^2.
b) Determine o raio L da órbita circular;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que se move sob a ação de uma força central com energia potencial , que descreve um oscilador harmônico isotrópico. Sabemos também que o momento angular da partícula em relação à origem é . O objetivo é determinar o raio da órbita circular dessa partícula.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia potencial, momento angular e as condições para uma órbita circular estável.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a energia efetiva ( Veff = V + L^22 m r^2 ) que a partícula experimenta. Em sistemas com forças centrais, a energia efetiva leva em conta tanto a energia potencial da força central quanto a energia devido ao movimento angular da partícula. A energia efetiva é dada por:
Aqui, representa a energia cinética associada ao movimento angular devido ao momento angular .

Passo 3

Para encontrar o raio da órbita circular dVeffdr = 0 , precisamos encontrar o ponto onde a energia efetiva está em um mínimo, ou seja, onde a derivada da energia efetiva em relação a dVeffdr = ddr( 12 k r^2 + L^22 m r^2 ) = k r - L^2m r^3 = 0 é igual a zero:
Vamos calcular a derivada:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação k r = L^2m r^3 implies k r^4 = L^2m implies r^4 = L^2m k implies r0 = ( L^2m k )^14 para encontrar :

Resposta

O raio da órbita circular é:
r0 = ( L^2m k )^14

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