Uma partícula de massa
move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=\frac{1}{2} k r^{2}$$
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é
.
b) Determine o raio
da órbita circular;
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é
b) Determine o raio
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa
que se move sob a ação de uma força central com energia potencial
, que descreve um oscilador harmônico isotrópico. Sabemos também que o momento angular da partícula em relação à origem é
. O objetivo é determinar o raio
da órbita circular dessa partícula.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia potencial, momento angular e as condições para uma órbita circular estável.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a energia efetiva (
) que a partícula experimenta. Em sistemas com forças centrais, a energia efetiva leva em conta tanto a energia potencial da força central quanto a energia devido ao movimento angular da partícula. A energia efetiva é dada por:
Aqui,
representa a energia cinética associada ao movimento angular devido ao momento angular
.
Passo 3
Para encontrar o raio da órbita circular
, precisamos encontrar o ponto onde a energia efetiva está em um mínimo, ou seja, onde a derivada da energia efetiva em relação a
é igual a zero:
Vamos calcular a derivada:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação
para encontrar
:
Resposta
O raio da órbita circular é: