Para uma partícula que se move sob a ação de uma força central do tipo
F=kr^2 r
sabemos que a energia total E e o momento angular L=r times p são constantes do movimento. Mostre que o vetor
A=p times L-m k rr
também é uma constante do movimento. A é conhecido como vetor de Laplace-Runge-Lens.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo sob a influência de uma força central dada por
F = kr^2 r
Sabemos que a energia total A = p times L - m k rr e o momento angular dessa partícula são constantes ao longo do tempo. O exercício nos pede para mostrar que o vetor
também é uma constante do movimento. Para isso, vamos precisar entender conceitos de força central, momento angular, derivadas temporais e como provar que algo é constante no movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se queremos mostrar que um vetor dAdt = 0 é constante no tempo, precisamos mostrar que a sua derivada temporal é zero, ou seja:
Então, nosso objetivo é calcular e verificar se realmente é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada temporal de dAdt = ddt ( p times L ) - ddt ( m k rr ) :
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular dLdt = 0 .
Sabemos que ddt ( p times L ) = dpdt times L + p times dLdt = dpdt times L + p times 0 = dpdt times L , e que é constante (dado pelo problema). Portanto, sua derivada temporal é zero:
Usando a regra do produto para derivadas de vetores, temos:

Passo 5

Sabemos que ddt ( p times L ) = F times L é a força F = kr^2 r . Portanto:
F times L = kr^2 r times L
Substituindo a força central dada:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada do segundo termo de ddt ( m k rr ) :
ddt ( m k rr ) = m k drdt
Vamos separar como o vetor unitário na direção de , ou seja, . Então:
Sabemos que está relacionado à velocidade e direção da partícula, mas vamos precisar de mais informações para continuar. Contudo, vamos manter esse termo por enquanto e focar no que já temos.

Passo 7

Voltando à expressão completa da derivada de dAdt = kr^2 r times L - m k drdt :
Agora, precisamos mostrar que essa expressão é igual a zero. Para isso, vamos analisar cada termo.

Passo 8

Sabemos que o momento angular L = r times p é dado por:
drdt = ddt ( rr ) = 1r drdt - rr^3 (r cdot v) = vr - rr^3 (r cdot v)
E no movimento sob força central, é constante. Além disso, a velocidade .
Agora, vamos relacionar com :
Essa expressão representa a derivada do vetor unitário em termos da velocidade .

Passo 9

Agora, substituindo dAdt = kr^2 r times L - m k ( vr - rr^3 (r cdot v) ) de volta na expressão da derivada de :
Vamos simplificar cada termo para ver se conseguimos chegar a zero.

Passo 10

Primeiro, analisamos r times L = r times (r times m v) = m [r (r cdot v) - v (r cdot r)] :
Sabemos que r times L = m ( r (r cdot v) - v r ) = m ( rr (r cdot v) - r v ) e que r times L = m ( r (r cdot v)r - r v ) . Ent��o:
Como , temos , então:
Simplificando:

Passo 11

Agora, substituindo de volta na expressão da derivada de dAdt = kr^2 cdot m ( r (r cdot v)r - r v ) - m k ( vr - rr^3 (r cdot v) ) :
dAdt = m k ( r (r cdot v)r^3 - vr ) - m k ( vr - r (r cdot v)r^3 )
Vamos distribuir os termos:

Passo 12

Observamos que os termos se anulam:
dAdt = m k ( r (r cdot v)r^3 - vr ) - m k ( vr - r (r cdot v)r^3 ) = 0

Resposta

Como a derivada temporal de é zero, concluímos que o vetor de Laplace-Runge-Lenz é uma constante do movimento.

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