Para uma partícula que se move sob a ação de uma força central do tipo
sabemos que a energia total
e o momento angular
são constantes do movimento. Mostre que o vetor
também é uma constante do movimento.
é conhecido como vetor de Laplace-Runge-Lens.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo sob a influência de uma força central dada por
Sabemos que a energia total
e o momento angular
dessa partícula são constantes ao longo do tempo. O exercício nos pede para mostrar que o vetor
também é uma constante do movimento. Para isso, vamos precisar entender conceitos de força central, momento angular, derivadas temporais e como provar que algo é constante no movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se queremos mostrar que um vetor
é constante no tempo, precisamos mostrar que a sua derivada temporal é zero, ou seja:
Então, nosso objetivo é calcular
e verificar se realmente é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada temporal de
:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
.
Sabemos que
, e que
é constante (dado pelo problema). Portanto, sua derivada temporal é zero:
Usando a regra do produto para derivadas de vetores, temos:
Passo 5
Sabemos que
é a força
. Portanto:
Substituindo a força central dada:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada do segundo termo de
:
Vamos separar
como o vetor unitário na direção de
, ou seja,
. Então:
Sabemos que
está relacionado à velocidade e direção da partícula, mas vamos precisar de mais informações para continuar. Contudo, vamos manter esse termo por enquanto e focar no que já temos.
Passo 7
Voltando à expressão completa da derivada de
:
Agora, precisamos mostrar que essa expressão é igual a zero. Para isso, vamos analisar cada termo.
Passo 8
Sabemos que o momento angular
é dado por:
E no movimento sob força central,
é constante. Além disso, a velocidade
.
Agora, vamos relacionar
com
:
Essa expressão representa a derivada do vetor unitário
em termos da velocidade
.
Passo 9
Agora, substituindo
de volta na expressão da derivada de
:
Vamos simplificar cada termo para ver se conseguimos chegar a zero.
Passo 10
Primeiro, analisamos
:
Sabemos que
e que
. Ent��o:
Como
, temos
, então:
Simplificando:
Passo 11
Agora, substituindo de volta na expressão da derivada de
:
Vamos distribuir os termos:
Passo 12
Observamos que os termos se anulam:
Resposta
Como a derivada temporal de
é zero, concluímos que o vetor de Laplace-Runge-Lenz
é uma constante do movimento.