Considere a funçalo
. Encontra os pontos máximo e mínimo locais e os pontos de sela.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa encontrar os pontos onde a função tem máximos locais, mínimos locais e pontos de sela. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos como as funções se comportam em mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero ou não existem. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esse ponto. Primeiro, precisamos das derivadas parciais de segunda ordem:
Calculamos o discriminante
:
Passo 6
Vamos analisar o valor de
:
- Se
e , então temos um mínimo local. - Se
e , então temos um máximo local. - Se
, então temos um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso:
Como
, então
. Além disso,
. Sabendo que
, temos:
Passo 7
Como
e
, concluímos que o ponto
é um ponto de mínimo local.
Resposta
O ponto
é um mínimo local da função
. Não existem outros pontos críticos, portanto não há máximos locais ou pontos de sela.