Considere a funçalo f(x, y) = (x^2 + y^2) * e^2 - x^2. Encontra os pontos máximo e mínimo locais e os pontos de sela.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa encontrar os pontos onde a função tem máximos locais, mínimos locais e pontos de sela. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos como as funções se comportam em mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero ou não existem. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esse ponto. Primeiro, precisamos das derivadas parciais de segunda ordem:
Calculamos o discriminante :

Passo 6

Vamos analisar o valor de :
  • Se e , então temos um mínimo local.
  • Se e , então temos um máximo local.
  • Se , então temos um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso:
Como , então . Além disso, . Sabendo que , temos:

Passo 7

Como e , concluímos que o ponto é um ponto de mínimo local.

Resposta

O ponto é um mínimo local da função . Não existem outros pontos críticos, portanto não há máximos locais ou pontos de sela.

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