Encontra o máximo e mínimo da funçalo
sobre a regialo dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função
dentro da região definida pela desigualdade
. Aqui, estamos lidando com otimização de funções de duas variáveis dentro de uma região delimitada. Para isso, vamos precisar entender como analisar os extremos de uma função nessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se existem pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos dentro da região, sem considerar a fronteira. Para isso, encontramos os pontos críticos, onde as derivadas parciais da função são zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E em relação a
:
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar a função nesse ponto:
Esse é um possível extremo dentro da região.
Passo 4
Mas não podemos esquecer da fronteira da região, ou seja, onde
. Para encontrar os extremos na fronteira, é mais fácil usar uma parametrização.
Podemos reescrever a equação da fronteira como:
Isso representa uma elipse. Podemos parametrizar
e
usando ângulo
:
Passo 5
Substituindo na função
:
Para achar os extremos, vamos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão. Sabemos que
varia entre 0 e 1, e o mesmo vale para
.
Passo 6
Vamos analisar os casos extremos:
- Quando
e : - Quando
e :
Passo 7
Portanto, na fronteira da região, a função atinge seu valor máximo de 4 e mínimo de -1.
Resposta
O máximo da função é 4, atingido quando
e
, e o mínimo é -1, atingido quando
e
.