Encontra o máximo e mínimo da funçalo f(x, y) = x^2 - y^2 sobre a regialo dado por x^2 + 4y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função dentro da região definida pela desigualdade . Aqui, estamos lidando com otimização de funções de duas variáveis dentro de uma região delimitada. Para isso, vamos precisar entender como analisar os extremos de uma função nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se existem pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos dentro da região, sem considerar a fronteira. Para isso, encontramos os pontos críticos, onde as derivadas parciais da função são zero.
A derivada parcial de em relação a é:
E em relação a :
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função nesse ponto:
Esse é um possível extremo dentro da região.

Passo 4

Mas não podemos esquecer da fronteira da região, ou seja, onde . Para encontrar os extremos na fronteira, é mais fácil usar uma parametrização.
Podemos reescrever a equação da fronteira como:
Isso representa uma elipse. Podemos parametrizar e usando ângulo :

Passo 5

Substituindo na função :
Para achar os extremos, vamos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão. Sabemos que varia entre 0 e 1, e o mesmo vale para .

Passo 6

Vamos analisar os casos extremos:
  • Quando e :
  • Quando e :

Passo 7

Portanto, na fronteira da região, a função atinge seu valor máximo de 4 e mínimo de -1.

Resposta

O máximo da função é 4, atingido quando e , e o mínimo é -1, atingido quando e .

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