Seja a funçlo vetorial com .
Calcule a curvatura de .
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que nos pede para calcular a curvatura de uma função vetorial. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre curvas no espaço. Para isso, vamos precisar saber calcular derivadas de vetores, produto vetorial e normas de vetores. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que é . Isso significa que vamos derivar cada componente da função vetorial em relação a .
Dada:
Derivando cada componente:
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, , que é a derivada de .
Derivando :
Usando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores em 3D dá outro vetor.
Então, temos:
Calculando o produto vetorial:
Explicando rapidamente, a fórmula do determinante nos dá:
Simplificando cada componente:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma desse vetor resultante, .
Temos:
Fatorando :
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma de , que é , e depois elevar ao cubo.