Seja r(t) = (sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t), 1/2 t^2) a funçlo vetorial com t em (0, infinito).
Calcule a curvatura kappa(t) de r(t).

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que nos pede para calcular a curvatura de uma função vetorial. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre curvas no espaço. Para isso, vamos precisar saber calcular derivadas de vetores, produto vetorial e normas de vetores. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que é . Isso significa que vamos derivar cada componente da função vetorial em relação a .
Dada:
Derivando cada componente:
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, , que é a derivada de .
Derivando :
Usando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores em 3D dá outro vetor.
Então, temos:
Calculando o produto vetorial:
Explicando rapidamente, a fórmula do determinante nos dá:
Simplificando cada componente:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma desse vetor resultante, .
Temos:
Fatorando :

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma de , que é , e depois elevar ao cubo.
Temos:

Passo 7

Finalmente, vamos usar a fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da função vetorial é:

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