Faça um esboço do gráfico e determine a transformada de Laplace da função
f(t)=ll -32 t, & se 0 <= t<4, 32 t-12, & se 4 <= t<8, 0, & se t >= 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que muda de expressão em três intervalos diferentes e, depois, encontrar a transformada de Laplace dessa função. Isso envolve conceitos de funções por partes e transformadas de Laplace, que são usadas para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar entender como representar funções por partes usando funções de degrau (ou funções de Heaviside) e aplicar a fórmula da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(t) = -32 t, & se 0 <= t < 4, 32 t - 12, & se 4 <= t < 8, 0, & se t >= 8 se comporta em cada intervalo:
Para esboçar o gráfico, vamos plotar cada parte separadamente:
  1. De 0 a 4 segundos: . É uma reta decrescente que passa pela origem.
  2. De 4 a 8 segundos: . É uma reta crescente.
  3. Após 8 segundos: . A função zera.

Passo 3

Agora, vamos representar essa função de maneira que facilite a aplicação da transformada de Laplace. Para isso, usamos as funções de Heaviside f(t) = -32 t cdot u(t) + (32 t - 12) cdot u(t-4) + 0 cdot u(t-8) , que “ligam” a função a partir do instante f(t) = -32 t cdot u(t) + (32 t - 12) cdot u(t-4) .
Podemos reescrever da seguinte forma:
Simplificando, já que o último termo é zero:

Passo 4

Para facilitar a transformada, vamos expandir a segunda parte:
f(t) = -32 t cdot u(t) + 32 t cdot u(t-4) - 12 cdot u(t-4)
Agora, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções com deslocamento no tempo:
Lf(t - a)u(t - a) = e^-asF(s)
onde é a transformada de .

Passo 5

Vamos aplicar a transformada de Laplace a cada termo separadamente:
  1. Para L-32 t = -32 cdot 1s^2 :
L32 t cdot u(t-4) = 32 e^-4s cdot 1s^2
  1. Para L-12 cdot u(t-4) = -12 cdot e^-4ss :
  1. Para :

Passo 6

Agora, juntando todas as transformadas:
Lf(t) = -32 cdot 1s^2 + 32 cdot e^-4ss^2 - 12 e^-4ss

Resposta

A transformada de Laplace da função Lf(t) = -32 s^2 + 3 e^-4s2 s^2 - 12 e^-4ss é:

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