Considere a funçäo , definida por
Nessas condiçäes é correto afirmar que
o conjunto imagem de f é [-12, 12]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por . A pergunta quer saber se o conjunto imagem dessa função é o intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e como encontrar o valor máximo e mínimo de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Note que é igual a . Como o seno é uma função ímpar, ou seja, , podemos simplificar para , já que de um valor positivo e negativo vai apenas alterar o sinal, mas como estamos multiplicando por f(x) = 12 sen x + sen(x2) cos(x2) que é uma função par, o valor final não muda.
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando isso na segunda parte da nossa função:
Então, substituindo de volta na função sin a cos a = 12 sen(2a) :
Passo 4
Agora que simplificamos a função para , sabemos que o seno tem valores que variam entre -1 e 1 para todos os valores de reais. Portanto, o conjunto imagem de é o intervalo .