Considere a funçäo , definida por
Nessas condiçäes é correto afirmar que
fé una função periódica.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente tem uma função f(x) = 12 sen x + sen|x2| cos|x2| definida por:
A pergunta é: essa função é periódica? Ou seja, ela se repete em intervalos regulares? Para responder isso, vamos precisar entender o que é função periódica e analisar os componentes dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função periódica. Uma função f(x + T) = f(x) para todo x é periódica se existe um número positivo sen(x + 2pi) = sen x tal que:
Esse é chamado de período da função. Por exemplo, a função seno tem período porque:
Passo 3
Agora, vamos analisar os termos que compõem a função :
: Sabemos que é uma função periódica com período .
: Aqui temos uma combinação de seno e cosseno de . Vamos simplificar esse termo usando uma identidade trigonométrica.
Passo 4
Usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso ao nosso termo:
Como porque o seno é uma função ímpar e , mas permanece a mesma quando tomamos o valor absoluto. Então:
Passo 5
Substituindo de volta na função f(x) = 12 sen x + 12 sen x = sen x :
Ou seja, a função simplifica para .
Passo 6
Agora que vimos que , já sabemos que é uma função periódica com período . Portanto, também é periódica com o mesmo período.