Considere a função
definida por
(a) Esboce o gráfico de f.
(b) Faça um esboço do gráfico de
dada por
.
(b) Faça um esboço do gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida em duas partes diferentes no intervalo de
a
. A tarefa é esboçar o gráfico de
e depois o gráfico de outra função
, que é uma transformação de
. Para isso, vamos precisar entender funções por partes, operações com funções e como fazer transformações gráficas como compressão e translação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Ela é definida de duas formas:
Isso significa que para valores de
entre
e
, a função segue a expressão
, e para
entre
e
, ela é simplesmente o seno de
.
Passo 3
Vamos começar esboçando o gráfico de
para cada intervalo.
Para
:
A expressão é
. Vamos simplificar isso passo a passo:
- Calcular
: Isso reflete o valor absoluto de . - Subtrair 5:
. - Aplicar outro valor absoluto:
.
Isso resulta em uma função em forma de “V” invertido devido aos valores absolutos.
Para
:
A função é , que é uma curva senoidal padrão neste intervalo.
Passo 4
Agora, vamos identificar pontos chave para esboçar os gráficos.
Para
:
- Quando
: , então . Assim, . - Quando
: , então . Então, . - Quando
: , então . Assim, .
Isso nos mostra que a função atinge seu ponto máximo em
com valor 5.
Para
:
Sabemos que e , com o ponto máximo em
, onde .
Passo 5
Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico de
:
- Intervalo
: Um “V” invertido com vértice em e pontos em e . - Intervalo
: A curva do seno começando em , atingindo e voltando para .
Passo 6
Agora, vamos para a função
.
Transformações aplicadas:
- Compressão horizontal por fator 2:
faz com que o gráfico de seja comprimido horizontalmente pela metade. - Translação para baixo: Subtrair 1, ou seja,
, move todo o gráfico 1 unidade para baixo.
Então, para esboçar
, a gente aplica essas transformações no gráfico de
.
Resposta
O gráfico de
apresenta um “V” invertido no intervalo
com vértice em
e a curva do seno no intervalo
. Já o gráfico de
é uma versão comprimida horizontalmente de
pela metade e deslocada 1 unidade para baixo.