Considere a função f: [-10, pi] -> R definida por
f(x) = { | |x + 3| - 5|, se -10 <= x < 0 ; sen(x), se 0 <= x <= pi }
(a) Esboce o gráfico de f.
(b) Faça um esboço do gráfico de g dada por g(x) = f(2 x) - 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida em duas partes diferentes no intervalo de a . A tarefa é esboçar o gráfico de e depois o gráfico de outra função , que é uma transformação de . Para isso, vamos precisar entender funções por partes, operações com funções e como fazer transformações gráficas como compressão e translação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Ela é definida de duas formas:
Isso significa que para valores de entre e , a função segue a expressão , e para entre e , ela é simplesmente o seno de .

Passo 3

Vamos começar esboçando o gráfico de para cada intervalo.
Para :
A expressão é . Vamos simplificar isso passo a passo:
  1. Calcular : Isso reflete o valor absoluto de .
  2. Subtrair 5: .
  3. Aplicar outro valor absoluto: .
Isso resulta em uma função em forma de “V” invertido devido aos valores absolutos.
Para :
A função é , que é uma curva senoidal padrão neste intervalo.

Passo 4

Agora, vamos identificar pontos chave para esboçar os gráficos.
Para :
  • Quando : , então . Assim, .
  • Quando : , então . Então, .
  • Quando : , então . Assim, .
Isso nos mostra que a função atinge seu ponto máximo em com valor 5.
Para :
Sabemos que e , com o ponto máximo em , onde .

Passo 5

Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico de :
  • Intervalo : Um “V” invertido com vértice em e pontos em e .
  • Intervalo : A curva do seno começando em , atingindo e voltando para .

Passo 6

Agora, vamos para a função .
Transformações aplicadas:
  1. Compressão horizontal por fator 2: faz com que o gráfico de seja comprimido horizontalmente pela metade.
  2. Translação para baixo: Subtrair 1, ou seja, , move todo o gráfico 1 unidade para baixo.
Então, para esboçar , a gente aplica essas transformações no gráfico de .

Resposta

O gráfico de apresenta um “V” invertido no intervalo com vértice em e a curva do seno no intervalo . Já o gráfico de é uma versão comprimida horizontalmente de pela metade e deslocada 1 unidade para baixo.

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