(PROFMAT MA11AV1 2012) Seja f: R -> R uma função crescente tal que, para todo x racional, vale f(x) = a*x + b (com a, b in R constantes). Prove que se tem f(x) = a*x + b também se x for irracional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é crescente, ou seja, sempre que , então . A função também segue a regra para todo número racional , onde e são constantes reais. Nosso objetivo é provar que essa regra vale para todos os números reais, inclusive os irracionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser crescente. Isso quer dizer que, conforme aumenta, também não diminui. Essa propriedade é importante porque ela nos dá informações sobre como a função se comporta em todo o domínio.

Passo 3

Sabemos que os números racionais são densos na reta real, ou seja, entre dois números reais quaisquer, sempre existe pelo menos um número racional. Isso significa que podemos aproximar qualquer número real, seja ele racional ou irracional, por números racionais.

Passo 4

Vamos considerar um número real qualquer , que pode ser irracional. Como os racionais são densos, podemos criar duas sequências de números racionais que se aproximam de : uma pela esquerda ( ) e outra pela direita ( ).

Passo 5

Aplicando a função nessas sequências, temos:
Como é crescente, os limites dessas sequências devem satisfazer:

Passo 6

Calculando os limites, obtemos:
Portanto:

Passo 7

A única forma dessa desigualdade ser verdadeira é que:
Isso mostra que, para qualquer número real , seja ele racional ou irracional, a função segue a regra .

Resposta

Concluímos que para todo número real , inclusive os irracionais.

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