(PROFMAT MA11AV1 2012) Seja
uma função crescente tal que, para todo
racional, vale
(com a, b
constantes). Prove que se tem
também se
for irracional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que é crescente, ou seja, sempre que
, então
. A função também segue a regra
para todo número racional
, onde
e
são constantes reais. Nosso objetivo é provar que essa regra vale para todos os números reais, inclusive os irracionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser crescente. Isso quer dizer que, conforme
aumenta,
também não diminui. Essa propriedade é importante porque ela nos dá informações sobre como a função se comporta em todo o domínio.
Passo 3
Sabemos que os números racionais são densos na reta real, ou seja, entre dois números reais quaisquer, sempre existe pelo menos um número racional. Isso significa que podemos aproximar qualquer número real, seja ele racional ou irracional, por números racionais.
Passo 4
Vamos considerar um número real qualquer
, que pode ser irracional. Como os racionais são densos, podemos criar duas sequências de números racionais que se aproximam de
: uma pela esquerda (
) e outra pela direita (
).
Passo 5
Aplicando a função
nessas sequências, temos:
Como
é crescente, os limites dessas sequências devem satisfazer:
Passo 6
Calculando os limites, obtemos:
Portanto:
Passo 7
A única forma dessa desigualdade ser verdadeira é que:
Isso mostra que, para qualquer número real
, seja ele racional ou irracional, a função
segue a regra
.
Resposta
Concluímos que
para todo número real
, inclusive os irracionais.