(PROFMAT MA11AV1 2011) a) Quais são os valores de y para os quais existe uma função quadrática f: R -> R tal que f(1) 3, f(2)=5 e f(3) = y ? (b) Tome y = 9 e determine a função quadrática correspondente. Justifique seus argumentos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de funções quadráticas, que são expressas pela fórmula . Precisamos encontrar os valores de y para os quais existe uma função quadrática que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos montar um sistema de equações usando esses pontos e resolver para y.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o ponto . Substituindo na fórmula da função quadrática:
çã

Passo 3

Agora, usamos o ponto :
çã

Passo 4

Em seguida, aplicamos o ponto :
çã

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações formado pelas Equações 1 e 2 para encontrar a, b e c. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
çã

Passo 6

Agora, subtraindo a Equação 1 da Equação 3:
çã

Passo 7

Vamos resolver as Equações 4 e 5. Primeiro, isolamos b na Equação 4:
Agora, substituímos b na Equação 5:

Passo 8

Com o valor de a, encontramos b:

Passo 9

Por fim, substituímos a e b na Equação 1 para encontrar c:

Passo 10

Agora, vamos assumir que e determinar a função quadrática correspondente. Usando os valores encontrados anteriormente:

Passo 11

Passo 12

Resposta

A função quadrática correspondente quando é:

Exercícios relacionados