(PROFMAT MA11AV1 2011) Seja
uma função. Dê as definições de
e
, para
e
. Se
é dada por
, determine os conjuntos
(3).
(b) Seja
uma função. Prove que
, quaisquer que sejam
. Dê um exemplo em que
(b) Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre funções, especificamente sobre imagens e pré-imagens de conjuntos, e também sobre como as funções se comportam com união e interseção de conjuntos. Vamos usar conceitos básicos de funções, como
que representa a imagem de
pela função
, e
que é a pré-imagem de
. Além disso, vamos precisar entender como resolver equações quadráticas para determinar conjuntos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são
e
.
-
Imagem de
(f(X)): É o conjunto de todos os valores que a função assume quando aplicamos a cada elemento de . Formalmente, . -
Pré-imagem de
(f^{-1}(Y)): É o conjunto de todos os elementos em que, ao serem aplicados na função , resultam em algum elemento de . Formalmente, .
Passo 3
Agora, vamos para a parte prática. Temos a função
definida por
. Precisamos determinar
e
.
Passo 4
Determinar
:
Como
é uma função quadrática, o gráfico dela é uma parábola. O coeficiente de
é positivo (
), então a parábola abre para cima.
Para encontrar
, ou seja, o conjunto imagem de
, precisamos achar o valor mínimo da função.
Usando a fórmula do vértice da parábola,
:
Agora, substituímos
na função para encontrar o valor mínimo:
Então, o menor valor que
pode assumir é
. Portanto,
.
Passo 5
Determinar
:
Queremos encontrar todos os
tais que
:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, temos duas soluções:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos provar que
para quaisquer conjuntos
, e dar um exemplo onde
.
Prova de que
:
-
Inclusão
: - Seja
. Então, existe tal que . - Se
, então . - Se
, então . - Em qualquer caso,
.
- Seja
-
Inclusão
: - Seja
. Então, ou . - Se
, existe tal que . Como , . - Se
, existe tal que . Como , . - Portanto,
.
- Seja
Como ambas as inclusões são verdadeiras, concluímos que
.
Exemplo onde
:
Vamos considerar a função
definida por
.
Sejam os conjuntos:
Então:
Calculando:
Por outro lado:
Nesse caso,
. Vamos ajustar o exemplo para que a interseção seja diferente.
Novo exemplo:
Considere a função
definida por:
Sejam os conjuntos:
Então:
Calculando:
Agora, claramente:
Isso mostra que, nesse caso,
.
Resposta
Em resumo:
a) Para a função
:
- A imagem
. - A pré-imagem
.
b) Demonstramos que
para quaisquer conjuntos
e
. Além disso, fornecemos um exemplo onde
, ilustrando que a igualdade nem sempre se mantém para interseções.