(PROFMAT MA11AV1 2011) Seja f: A -> B uma função. Dê as definições de f(X) e f^(-1)(Y), para X ⊆ A e Y ⊆ B. Se f: R -> R é dada por f(x) = 2*x^2 + 3*x + 4, determine os conjuntos f(R) e f^(-1) (3).
(b) Seja f: A -> B uma função. Prove que f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y), quaisquer que sejam X, Y ⊆ A. Dê um exemplo em que f(X ∩ Y) ≠ f(X) ∩ f(Y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre funções, especificamente sobre imagens e pré-imagens de conjuntos, e também sobre como as funções se comportam com união e interseção de conjuntos. Vamos usar conceitos básicos de funções, como que representa a imagem de pela função , e que é a pré-imagem de . Além disso, vamos precisar entender como resolver equações quadráticas para determinar conjuntos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são e .
  • Imagem de (f(X)): É o conjunto de todos os valores que a função assume quando aplicamos a cada elemento de . Formalmente, .
  • Pré-imagem de (f^{-1}(Y)): É o conjunto de todos os elementos em que, ao serem aplicados na função , resultam em algum elemento de . Formalmente, .

Passo 3

Agora, vamos para a parte prática. Temos a função definida por . Precisamos determinar e .

Passo 4

Determinar :
Como é uma função quadrática, o gráfico dela é uma parábola. O coeficiente de é positivo ( ), então a parábola abre para cima.
Para encontrar , ou seja, o conjunto imagem de , precisamos achar o valor mínimo da função.
Usando a fórmula do vértice da parábola, :
Agora, substituímos na função para encontrar o valor mínimo:
Então, o menor valor que pode assumir é . Portanto, .

Passo 5

Determinar :
Queremos encontrar todos os tais que :
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, temos duas soluções:
Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos provar que para quaisquer conjuntos , e dar um exemplo onde .
Prova de que :
  1. Inclusão :
    • Seja . Então, existe tal que .
    • Se , então .
    • Se , então .
    • Em qualquer caso, .
  2. Inclusão :
    • Seja . Então, ou .
    • Se , existe tal que . Como , .
    • Se , existe tal que . Como , .
    • Portanto, .
Como ambas as inclusões são verdadeiras, concluímos que .
Exemplo onde :
Vamos considerar a função definida por .
Sejam os conjuntos:
Então:
Calculando:
Por outro lado:
Nesse caso, . Vamos ajustar o exemplo para que a interseção seja diferente.
Novo exemplo:
Considere a função definida por:
Sejam os conjuntos:
Então:
Calculando:
Agora, claramente:
Isso mostra que, nesse caso, .

Resposta

Em resumo:
a) Para a função :
  • A imagem .
  • A pré-imagem .
b) Demonstramos que para quaisquer conjuntos e . Além disso, fornecemos um exemplo onde , ilustrando que a igualdade nem sempre se mantém para interseções.

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