Considere que um paraquedista de massa
é solto no instante
com velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo
. Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Mostre que a velocidade limite de queda é
Mostre que a velocidade limite de queda é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um paraquedista com massa
que é solto sem velocidade inicial e começa a cair verticalmente. Enquanto ele cai, duas forças atuam nele: a força da gravidade puxando para baixo (
) e a força do atrito do ar, que depende da velocidade e é proporcional a
. Nosso objetivo aqui é mostrar que a velocidade limite (ou terminal) que ele atinge é
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente a resolução de equações diferenciais usando frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. A força gravitacional que puxa o paraquedista para baixo é
. A força de arrasto do ar, que age contra o movimento, é dada por
(o sinal negativo indica que a força de arrasto age na direção oposta ao movimento). Assim, a força total
que atua no paraquedista fica:
Passo 3
De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração:
Então, temos:
Passo 4
Vamos rearranjar essa equação para separarmos as variáveis
e
:
Passo 5
Agora, precisamos integrar ambos os lados. O lado esquerdo com respeito a
e o lado direito com respeito a
. Antes de integrar o lado esquerdo, vamos simplificar a expressão:
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar
, então a integral fica:
Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando frações parciais ou reconhecimento da forma de uma função inversa do tangente hiperbólico. A solução geral dessa integral será:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Aplicando as condições iniciais: no instante
, a velocidade
. Vamos usar isso para encontrar
:
Então, a equação simplifica para:
Passo 8
Agora, queremos encontrar a velocidade limite, que é a velocidade quando
tende ao infinito. Nessa situação, a aceleração
se torna zero, pois a velocidade não está mais aumentando. Então, podemos igualar a força gravitacional à força de atrito:
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade limite de queda do paraquedista é
.
Exercícios relacionados
Determine a diferencial da função.
©
©
Considere a funço
. Calcule
e determine
.
Considere a funçäo
e
. Verifique se integral corresponde a uma área? (a) ( 0,5 ponto) Defina o tamanho da base de cada um dos retảngulos aproximantes e divida o intervalo
em
subintervalos e represente o intervalo
como uma uniza de todos os seus subintervalos. (b) ( 0,5 ponto) Defina a altura do i-ésimo retângulo e calcule
como uma aproximaçăo. © ( 1,0 ponto) Calcule a área da integral definida usando as somas de Riemann (justifique as etapas do cálculo).
Determinar a derivada das funções: