Considere que um paraquedista de massa é solto no instante com velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo . Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Mostre que a velocidade limite de queda é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um paraquedista com massa que é solto sem velocidade inicial e começa a cair verticalmente. Enquanto ele cai, duas forças atuam nele: a força da gravidade puxando para baixo ( ) e a força do atrito do ar, que depende da velocidade e é proporcional a . Nosso objetivo aqui é mostrar que a velocidade limite (ou terminal) que ele atinge é . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente a resolução de equações diferenciais usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. A força gravitacional que puxa o paraquedista para baixo é . A força de arrasto do ar, que age contra o movimento, é dada por (o sinal negativo indica que a força de arrasto age na direção oposta ao movimento). Assim, a força total que atua no paraquedista fica:

Passo 3

De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração:
Então, temos:

Passo 4

Vamos rearranjar essa equação para separarmos as variáveis e :

Passo 5

Agora, precisamos integrar ambos os lados. O lado esquerdo com respeito a e o lado direito com respeito a . Antes de integrar o lado esquerdo, vamos simplificar a expressão:

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar , então a integral fica:
Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando frações parciais ou reconhecimento da forma de uma função inversa do tangente hiperbólico. A solução geral dessa integral será:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando as condições iniciais: no instante , a velocidade . Vamos usar isso para encontrar :
Então, a equação simplifica para:

Passo 8

Agora, queremos encontrar a velocidade limite, que é a velocidade quando tende ao infinito. Nessa situação, a aceleração se torna zero, pois a velocidade não está mais aumentando. Então, podemos igualar a força gravitacional à força de atrito:

Passo 9

Resolvendo para :

Resposta

A velocidade limite de queda do paraquedista é .

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