Considere a função
. Mostre que
e estude a concavidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
. O que precisamos fazer é provar que a segunda derivada dessa função é
e depois estudar a concavidade da função. Então, vamos precisar usar derivadas e entender um pouquinho sobre concavidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Para isso, vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada é
.
No nosso caso,
e
.
Vamos calcular
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da primeira derivada:
Podemos fatorar um
no numerador:
Simplificando mais, cancelamos um
:
Agora, vamos simplificar dentro dos colchetes:
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
derivando
.
Temos:
Vamos aplicar novamente a regra do quociente:
Simplificando:
Vamos fatorar
no numerador:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Passo 5
Agora que mostramos que
, vamos analisar a concavidade da função
.
A concavidade depende do sinal da segunda derivada:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos analisar o sinal de
.
O denominador
é sempre positivo, já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo.
Então, o sinal de
depende apenas do numerador
:
- Se
(ou seja, ), então → concava para cima. - Se
(ou seja, ), então → concava para baixo.
Passo 6
Vamos resumir:
- A segunda derivada
. - Quando
, → concava para cima. - Quando
, → concava para baixo.
Resposta
Mostramos que
. A função
é concava para cima quando
e concava para baixo quando
.