Considere a função f(x) = (16 - x^2) / (x - 2)^2. Mostre que f''(x) = 8(11-x)/((x-2)^4) e estude a concavidade de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função . O que precisamos fazer é provar que a segunda derivada dessa função é e depois estudar a concavidade da função. Então, vamos precisar usar derivadas e entender um pouquinho sobre concavidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Para isso, vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é .
No nosso caso, e .
Vamos calcular e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da primeira derivada:
Podemos fatorar um no numerador:
Simplificando mais, cancelamos um :
Agora, vamos simplificar dentro dos colchetes:
Então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada derivando .
Temos:
Vamos aplicar novamente a regra do quociente:
Simplificando:
Vamos fatorar no numerador:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:

Passo 5

Agora que mostramos que , vamos analisar a concavidade da função .
A concavidade depende do sinal da segunda derivada:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos analisar o sinal de .
O denominador é sempre positivo, já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo.
Então, o sinal de depende apenas do numerador :
  • Se (ou seja, ), então → concava para cima.
  • Se (ou seja, ), então → concava para baixo.

Passo 6

Vamos resumir:
  • A segunda derivada .
  • Quando , → concava para cima.
  • Quando , → concava para baixo.

Resposta

Mostramos que . A função é concava para cima quando e concava para baixo quando .

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