(Pesquisa) Utilize integração dupla para calcular a área de uma esfera de raio R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área de uma esfera de raio usando integração dupla. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais duplas em coordenadas esféricas ou cartesianas. Vamos precisar entender como configurar a integral dupla para uma superfície tridimensional como a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a esfera de raio é definida pela equação . Para calcular a área dessa esfera, podemos usar a fórmula da integral de superfície. No caso da esfera, é conveniente usar coordenadas esféricas devido à simetria.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na superfície da esfera pode ser descrito por dois ângulos: (theta), o ângulo polar, e (phi), o ângulo azimutal. A área diferencial em coordenadas esféricas é dada por:
Aqui, é o raio da esfera.

Passo 4

Para encontrar a área total da esfera, precisamos integrar sobre todo o domínio dos ângulos e . Ou seja, varia de a e varia de a :

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A área da esfera de raio é .

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