(Pesquisa) Utilize integração dupla para calcular a área de uma esfera de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área de uma esfera de raio
usando integração dupla. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais duplas em coordenadas esféricas ou cartesianas. Vamos precisar entender como configurar a integral dupla para uma superfície tridimensional como a esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a esfera de raio
é definida pela equação
. Para calcular a área dessa esfera, podemos usar a fórmula da integral de superfície. No caso da esfera, é conveniente usar coordenadas esféricas devido à simetria.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na superfície da esfera pode ser descrito por dois ângulos:
(theta), o ângulo polar, e
(phi), o ângulo azimutal. A área diferencial em coordenadas esféricas é dada por:
Aqui,
é o raio da esfera.
Passo 4
Para encontrar a área total da esfera, precisamos integrar
sobre todo o domínio dos ângulos
e
. Ou seja,
varia de
a
e
varia de
a
:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A área da esfera de raio
é
.